Група з операторами

Шаблон:Алгебричні структури Група з операторами(чи Ω-група) — в абстрактній алгебрі це алгебрична структура, що є групою з множиною Ω, яка діє на елемпенти групи.

Група з операторами вивчалась Еммі Нетер і її учнями в 1920-их. Вона використала її в теоремах про ізоморфізми.

Визначення

Група з операторами $(G,\mathrm{\Omega })$ це група $G=(G,\cdot )$ з дією множини $\mathrm{\Omega }$ на $G$:

$\mathrm{\Omega }\times G\to G:(\omega ,g)\mapsto g^{\omega }$

що є дистрибутивною до операції групи:

$(g\cdot h{)}^{\omega }=g^{\omega }\cdot h^{\omega }.$

Для кожного $\omega \in \mathrm{\Omega }$, операція $g\mapsto g^{\omega }$ є ендоморфізмом G. Отже Ω-група може розглядатись як група G з індексованим сімейством ${\left(u_{\omega }\right)}_{\omega \in \mathrm{\Omega }}$ ендоморфізмів G.

$\mathrm{\Omega }$ називається областю визначення операторів. асоційовані ендоморфізми називаються гомотетіями G.

Для двох груп G, H з однаковою $\mathrm{\Omega }$, гомоморфізм груп з операторами це гомоморфізм груп $\varphi :G\to H$, що задовільняє

$\varphi \left(g^{\omega }\right)=(\varphi (g){)}^{\omega }$ для всіх $\omega \in \mathrm{\Omega }$ та $g\in G.$

Підгрупа S в G називається стабільною підгрупою, $\mathrm{\Omega }$-підгрупою чи $\mathrm{\Omega }$-інваріантною підгрупою якщо вона зберігає гомотетії, тобто:

$s^{\omega }\in S$ для всіх $s\in S$ та $\omega \in \mathrm{\Omega }.$

Теорія категорій

В теорії категорій, група з операторами може бути визначена як об'єкт категорії функторів Grp^M, де M — моноїд (тобто категорія з одним об'єктом), а Grp — категорія груп.

Морфізм в цій категорії, це натуральне перетворення між двома функторами (тобто, дві групи з операторами мають одну й ту ж саму область визначення операторів M).

Група з операторами також є відображенням

$\mathrm{\Omega }\to {\mathrm{End}}_{𝐆𝐫𝐩}(G),$

де ${\mathrm{End}}_{𝐆𝐫𝐩}(G)$ є множиною ендоморфізмів групи G.

Приклади

• Довільна група G, (G, ∅) є групою з операторами.
• module M над кільцем R, R задає кратність (множення на скаляр) для елементів абелевої групи M, тому (M, R) є групою з операторами.
• Як частковий випадок попереднього: векторний простір над полем k є групою з операторами (V, k).

Див. також

• Дія групи
• Композиційний ряд

Джерела

• Шаблон:Бурбаки.Алгебра.ч1
• Шаблон:Rotman.An Introduction to the Theory of Groups