Рівняння п'ятого степеня

Графік многочлена 5-го степеня з 3 дійсними нулями(коренями)та 4 критичними точками.

Рівняння п'ятого степеня є результатом прирівнювання многочлена п'ятого степеня до нуля. Воно має загальний вигляд

$a{x}^5+b{x}^4+c{x}^3+d{x}^2+ex+f=0.$

Оскільки найвищий степінь є непарним, то рівняння (як і кубічне рівняння) має хоча б 1 дійсний корінь.

Нерозв'язними в радикалах вже є досить прості рівняння 5-го степеня, як:

$x^5\pm x-1=0$

Нормалізація

• Зведена форма: лінійним перетворенням Чірнхауса Шаблон:Math можна позбутися 4-го степеня і привести рівняння до:

$y^5+p{y}^3+q{y}^2+ry+s=0$.

• Первинна форма: квадратичним перетворенням Чірнхауса $y_k=x_k^2+\alpha x_k+\beta ,$ можна позбутися 4-го та 3-го степенів:

$y^5+p{y}^2+qy+r=0,$

коефіцієнти α та β можуть бути отримані з результанта чи тотожностей Ньютона.

• Форма Брінга—Жерарда: перетворенням Чірнхауса 4-го степеня $v_k=y_k^4+\alpha y_k^3+\beta y_k^2+\gamma y_k+\delta$ можна привести рівняння до вигляду:

$v^5+pv+q=0.$

Розв'язність в радикалах

Є декілька параметричних представлень для розв'язних рівнянь 5-го степеня (в формі Брінга—Жерарда):

$x^5+ax+b=0.$

Результат другої половини 19-го століття, John Stuart Glashan, George Paxton Young та Карл Рунге:

незвідне рівняння 5-го степеня з раціональними коефіцієнтами є розв'язним тоді й лише тоді, якщо

$x^5+\frac{5{\mu }^4(4\nu +3)}{{\nu }^2+1}x+\frac{4{\mu }^5(2\nu +1)(4\nu +3)}{{\nu }^2+1}=0$

де Шаблон:Math та Шаблон:Math є раціональними.

В 1994, Blair Spearman та Kenneth S. Williams дали ще одне представлення,

$x^5+\frac{5e^4(4c+3)}{c^2+1}x+\frac{-4e^5(2c-11)}{c^2+1}=0.$

Розв'язність в радикалах Брінга

Шаблон:Main Корені многочлена

$x^5+px+q$

Можуть бути отримані використовуючи радикал Брінга:

$\sqrt[4]{-\frac{p}{5}}\mathrm{BR}(-\frac{1}{4}{(-\frac{5}{p})}^{\frac{5}{4}}q)$

Джерела

• Шаблон:Завало.Курс алгебри
• Шаблон:Mathworld