Теорема Масельмана

В евклідовій геометрії теорема Масельмана — це властивість деяких кіл, визначених для довільного трикутника.

Формулювання теореми

Трикутник T з вершинами A, B і C; O — центр описаного кола (червоне).
A*, B* і C* — точки, симетричні точкам A, B і C відносно протилежної сторони.
M — точка перетину кіл Масельмана.
Зелене коло — коло дев'яти точок, N — його центр.
K — точка Косніти.

Нехай дано трикутник $T$ з вершинами $A$, $B$ і $C$. Нехай $A^{*}$, $B^{*}$ і $C^{*}$ — вершини трикутника відбиттів $T^{*}$, одержуваного дзеркальним відбиттям кожної вершини $T$ відносно протилежної сторони. Нехай $O$ — центр описаного кола $T$. Розглянемо 3 кола $S_A$, $S_B$ і $S_C$, що проходять через точки $AO{A}^{*}$, $BO{B}^{*}$ і $CO{C}^{*}$ відповідно. Теорема стверджує, що ці три кола Массельмана перетинаються в точці $M$, яка є інверсією відносно описаного навколо $T$ кола точки Косніти, яка є ізогональним спряженням центра дев'яти точок трикутника $T$.

Спільна точка $M$ є точкою Гільберта трикутника $T$, яка в Енциклопедії центрів трикутника згадана як $X_{1157}$.

Історія

1939 року теорему запропонували як задачу Масельман (J. R. Musselman) і Горматіг (René Goormaghtigh), а 1941 року вони надали доведення. Узагальнення цього результату сформулював і довів Горматіг.

Узагальнення Горматіга

В узагальненні теореми Масельмана Горматігом коло явно не згадано.

Як і раніше, нехай $A$, $B$ і $C$ — вершини трикутника $T$, і $O$ — центр описаного кола. Нехай $H$ — ортоцентр трикутника $T$, тобто перетин трьох висот. Нехай $A^{\prime }$, $B^{\prime }$ і $C^{\prime }$ — три точки на відрізках $OA$, $OB$ і $OC$, такі що $O{A}^{\prime }/OA=O{B}^{\prime }/OB=O{C}^{\prime }/OC=t$. Розглянемо 3 прямих $L_A$, $L_B$ і $L_C$, перпендикулярних $OA$, $OB$ і $OC$, що проходять через точки $A^{\prime }$, $B^{\prime }$ і $C^{\prime }$ відповідно. Нехай $P_A$, $P_B$ і $P_C$ — точки перетину перпендикулярів із прямими $BC$, $CA$ і $AB$ відповідно.

Нойберг (J. Neuberg) 1884 року помітив, що три точки $P_A$, $P_B$ і $P_C$ лежать на одній прямій $R$. Нехай $N$ — проєкція центра описаного кола $O$ на пряму $R$, а $N^{\prime }$ — точка на $ON$, така що $O{N}^{\prime }/ON=t$. Горматіг довів, що $N^{\prime }$ є інверсією відносно описаного навколо трикутника $T$ кола ізогонального спряження точки $Q$ на прямій Ейлера $OH$, такої, що $QH/QO=2t$.