Програма мінімальних моделей

Програма мінімальних моделей — це частина біраціональної класифікації алгебричних многовидів. Її мета — побудова якомога простішої біраціональної моделі будь-якого комплексного проєктивного многовиду. Предмет ґрунтується на класичній біраціональній геометрії поверхонь, що вивчається італійською школою, і нині перебуває в активному вивченні.

Основні принципи

Основна ідея теорії полягає в спрощенні біраціональної класифікації многовидів шляхом знаходження в кожному класі біраціональної еквівалентності многовиду, «простого, наскільки це можливо». Точне значення цієї фрази розвивається разом з розвитком самої теорії. Спочатку для поверхонь це означало знаходження гладкого многовиду $X$, для якого будь-який біраціональний морфізм $f:X\to X^{\prime }$ з гладкою поверхнею $X^{\prime }$ є ізоморфізмом.

У сучасному формулюванні метою теорії є таке. Припустимо, що дано проєктивний многовид $X$, який, для простоти, є несингулярним. Можливі два варіанти:

• Якщо $X$ має Шаблон:Не перекладено $\kappa (X,K_X)=-\mathrm{\infty }$, ми хочемо знайти многовид $X^{\prime }$, біраціональний до $X$, і морфізм $f:X^{\prime }\to Y$ у проєктивний многовид $Y$, такий, що $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}Y<\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}{X}^{\prime }$, з Шаблон:Не перекладено $-K_F$ шару загального вигляду $F$, який є рясним. Такий морфізм називають простором розшарування Фано.
• Якщо $\kappa (X,K_X)$ не менше від 0, ми хочемо знайти $X^{\prime }$, біраціональний $X$ з канонічним Шаблон:Не перекладено $K_{X^{\prime }}$. У цьому випадку $X^{\prime }$ є мінімальною моделлю для $X$.

Питання про несингулярності многовидів $X^{\prime }$ і $X$, наведених вище, є важливим. Виглядає природним сподіватись, що якщо ми починаємо з гладкого $X$, ми завжди знайдемо мінімальну модель або простір розшарування Фано всередині категорії гладких многовидів. Однак це не так, так що стає необхідним розглядати сингулярні многовиди. Сингулярності, що виникають, називають Шаблон:Не перекладено.

Мінімальні моделі поверхонь

Будь-яка незвідна комплексна алгебрична крива є біраціональною до єдиної гладкої проєктивної кривої, так що теорія для кривих тривіальна. Випадок поверхні спочатку дослідили італійці в кінці XIX — початку XX століття. Теорема про стягування Кастельнуово, по суті, описує процес побудови мінімальної моделі будь-якої гладкої поверхні. Теорема стверджує, що будь-який нетривіальний біраціональний морфізм $f:X\to Y$повинен стягувати −1-криву в гладку точку, і навпаки, будь-яку таку криву можна гладко стягнути. Тут −1-крива є гладкою раціональною кривою C із самоперетином C.C = −1. Будь-яка така крива повинна мати K.C=−1, що показує, що якщо канонічний клас є неф-класом, то поверхня не має −1-кривих.

З теореми Кастельнуово випливає, що для побудови мінімальної моделі для гладкої поверхні, ми просто стягуємо всі −1-криві на поверхні, і отриманий многовид Y або є (єдиною) мінімальною моделлю з неф-класом K, або лінійчастою поверхнею (яка є такою ж, як і 2-вимірний простір розшарування Фано, і є або проєктивною площиною, або лінійчастою поверхнею над кривою). У другому випадку лінійчаста поверхня, біраціональна до X, не єдина, хоча існує єдина поверхня, ізоморфна добутку проєктивної прямої і кривої.

Мінімальні моделі в просторах високих розмірностей

У розмірностях, більших від 2, залучається потужніша теорія. Зокрема, існують Шаблон:Не перекладено $X$, які не біраціональні будь-якому гладкому многовиду $X^{\prime }$ з канонічним неф-класом. Головне концептуальне просування 1970-х і ранніх 1980-х років — побудова мінімальних моделей залишається можливим з ретельним описом можливих сингулярностей моделей. (Наприклад, ми хочемо зрозуміти, чи є $K_{X^{\prime }}$ неф-класом, так що число перетинів $K_{X^{\prime }}\cdot C$ має бути визначеним. Отже, принаймні, наші многовиди повинні мати $n{K}_{X^{\prime }}$ дивізор Картьє для деякого додатного числа $n$.)

Першим ключовим результатом є Шаблон:Не перекладено Морі, яка описує структуру конуса кривих $X$. Коротко, теорема показує, що починаючи з $X$, можна за індукцією побудувати послідовність многовидів $X_i$, кожен з яких «ближчий», ніж попередній, до неф-класу $K_{X_i}$. Однак процес може ускладнитись — у деякій точці многовид $X_i$ може стати «занадто сингулярним». Гіпотетичне вирішення цієї проблеми — Шаблон:Не перекладеноШаблон:Уточнити, вид хірургії корозмірності 2 на $X_i$. Неясно, чи існує необхідна перебудова, або що процес завжди зупиниться (тобто що досягнемо мінімальної моделі $X^{\prime }$ за скінченне число кроків.) МоріШаблон:Sfn показав, що перебудови існують у 3-вимірному випадку.

Існування загальніших лог-перебудов з'ясував Шаблон:Нп для розмірностей три і чотири. Згодом це узагальнили для вищих розмірностей Біркар, Каскіні, Хекон, і Маккернан, спираючись на раніші роботи Шокурова, Хекона і Маккернана. Вони поставили також деякі інші задачі, зокрема узагальнення лог-канонічних кілець та існування мінімальних моделей для лог-многовидів загального вигляду.

Завдання зупинки лог-перебудов у просторах вищої розмірності залишається об'єктом активного дослідження.

Література

• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга