Пучок модулів

У математиці, пучок модулів — це пучок над окільцьованим простором $(X,O_X)$, що має структуру модуля над структурним пучком $O_X$.

Визначення

Для окільцьованого простору

$(X,O_X)$

, пучок

$O_X$

-модулів (або просто

$O_X$

-модуль) — це пучок

$F$

над

$X$

, такий що

$F(U)$

є

$O_X(U)$

-модулем для кожної відкритої множини

$U$

, і для кожної відкритої множини

$V$

, що міститься в

$U$

, відображення обмеження

$F(U)\to F(V)$

узгоджене зі структурою модулів: для кожних

$a\in O_X(U),f\in F(U)$

маємо

$(af){|}_V=a{|}_{V}f{|}_V$.

Морфізмом

$O_X$

-модулів

$F\to G$

називають морфізм пучків, такий, що для будь-якої відкритої множини

$U$

відображення

$F(U)\to G(U)$

є морфізмом

$O_X(U)$

-модулів.

Приклади

• Структурний пучок $O_X$ є $O_X$-модулем. Пучок $O_X$- модулів, що є підпучком пучка $O_X$, називають пучком ідеалів на $X$.
• Якщо $f:F\to G$ — морфізм $O_X$- модулів, то ядро, образ і коядро $f$ є $O_X$-модулями.
• Будь-які прямі суми, прямі добутки, прямі і зворотні границі $O_X$-модулів є $O_X$-модулями. Пучок $O_X$-модулів називається вільним, якщо він ізоморфний прямій сумі декількох копій $O_X$. Пучок $O_X$-модулів $F$ називають локально вільним (рангу $r$) якщо в кожної точки $X$ існує відкритий окіл, на якому $F$ вільний (ізоморфний прямій сумі $r$ копій пучка $O_X$). Локально вільний пучок рангу 1 називають також оборотним пучком.
• Якщо $F,G$ — пучок $O_X$-модулів, пучок морфізмів з $F$ у $G$ можна визначити так:$U\mapsto Ho{m}_{O_X(U)}(F(U),G(U)).$ Двоїстий $O_X$-модуль до $O_X$-модуля $F$ — це модуль морфізмів з $F$ у $O_X$.
• Пучок, асоційований з передпучком $U\to F(U){\otimes }_{O_X(U)}G(U)$ позначають $F{\otimes }_{O_X}G$. Його шар у точці $x$ канонічно ізоморфний $F_x{\otimes }_{O_{X,x}}{G}_x$. Аналогічно визначають симетричний і зовнішній добуток.

Література

• Шаблон:Книга
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean. «Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas» Шаблон:Webarchive. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 4, 1960.