Оператор Гільберта — Шмідта

Оператор Гільберта — Шмідта — це обмежений оператор $A$ на гільбертовому просторі $H$ зі скінченною нормою Гільберта — Шмідта, тобто для якого існує такий ортонормований базис $\{e_i:i\in I\}$ в $H$, що

$\sum _{i\in I}\Vert A{e}_i{\Vert }^2<\mathrm{\infty }.$

Якщо це виконується в якомусь ортономованому базисі, то це виконується в будь-якому ортонормованому базисі.

Скалярний добуток Гільберта — Шмідта

Нехай $A$ і $B$ — два оператори Гільберта — Шмідта. Скалярний добуток Гільберта — Шмідта визначається як

$⟨A,B{⟩}_{\mathrm{H}\mathrm{S}}=\mathrm{tr}{A}^{T}B=\sum _{i\in I}⟨A{e}_i,B{e}_i⟩.$

де $\mathrm{tr}$ позначає слід оператора. Індукована таким скалярним добутком норма називається нормою Гільберта — Шмідта:

$\Vert A\underset{\mathrm{H}\mathrm{S}}{\overset{2}{\Vert }}=\sum _{i\in I}\Vert A{e}_i{\Vert }^2.$

Це визначення не залежить від вибору ортонормованого базису і аналогічне нормі Фробеніуса для операторів у скінченновимірному векторному просторі.

Властивості

Оператори Гільберта — Шмідта утворюють двосторонній *-ідеал у банаховій алгебрі обмежених операторів на $H$. Оператори Гільберта — Шмідта утворюють замкнуту в топології, індукованій нормою на $H$, множину тоді і тільки тоді, коли $H$ скінченновимірний. Вони також утворюють гільбертів простір. Можна показати, що він природно ізоморфний тензорному добутку гільбертових просторів

$H^{*}\otimes H,$

де $H^{*}$ — простір, спряжений до $H$.

Джерела

• Шаблон:Ахієзер.Глазман.ТЛОвГП.т1