Теорема про сферу (диференціальна геометрія)

Теорема про сферу — загальна назва теорем, що дають достатні умови на ріманову метрику, які гарантують гомеоморфність або дифеоморфність многовиду стандартній сфері.

Формулювання

Нехай $M$ — замкнутий, однозв'язний, n-вимірний ріманів многовид з деякою умовою на кривину (див. зауваження), тоді $M$ гомеоморфний / дифеоморфний n-вимірній сфері.

Зауваження

• Формулювання з гомеоморфізмом і дифеоморфізмом мають назви відповідно топологічна теорема про сферу і гладка теорема про сферу.

• Найвідомішою умовою на кривину є так зване чверть-защеплення кривини, що означає, що секційна кривина в кожному секційному напрямку кожної точки лежить в $(1,4]$.
  • Умова чверть-защеплення є оптимальною, теорема перестає виконуватись, якщо секційна кривина може набувати значень у замкнутому інтервалі $[1,4]$. Стандартний контрприклад — комплексний проєктивний простір з канонічною метрикою; секційна кривина метрики набуває значень між 1 і 4, включно з кінцевими точками. Інші контрприклади можна знайти серед симетричних просторів рангу 1.
  • Загальнішою умовою є поточкове чверть-защеплення. Це означає, що секційна кривина додатна і для кожної фіксованої точки відношення максимуму до мінімуму секційних кривин по всіх секційних напрямках не перевершує 4.

• Іншою відомою умовою на кривину є додатність оператора кривини.
  • Загальнішою умовою є так звана 2-додатність оператора кривини, тобто додатність суми двох найменших власних значень оператора кривини.

Історія

Топологічна теорема

• Першу теорему про сферу довів 1951 року Шаблон:Нп. Він показав, що однозв'язні многовиди із секційною кривиною в інтервалі [3/4, 1] гомеоморфні.

• 1960 року Шаблон:Нп і Шаблон:Нп довели топологічну версію теореми про сферу для чверть-защеплення.

• 1988 року Мікалеф і Мур довели топологічну версію для замкнутих многовидів із додатною комплексифікованою кривиною в ізотропних напрямках.
  • Зокрема, з цього випливає топологічна теорема про сферу для додатного оператора кривини.
    • Те, що замкнуті многовиди з додатним оператором кривини є раціонально-гомологічними сферами, легко випливає з формули Бохнера.
  • Їх доведення використовує двовимірний аналог леми Сінга.

Гладка теорема

Класичні методи дозволяли довести гладку теорему про сферу тільки для дуже жорсткого защеплення, оптимальних защеплень вдалося досягти застосуванням потоку Річчі.

• 1982 року Річард Гамільтон довів гладку теорему про сферу в 3-вимірному випадку з додатною кривиною Річчі.
  • Це було перше застосування потоку Річчі, інші доведення гладкої теореми проходили за тією ж схемою, але вимагали серйозних технічних доробок.

• 1985 року Шаблон:Не перекладено використав потік Річчі для доведення гладкої теореми про сферу у всіх розмірностях.
  • Запропонована ним умова на кривину була в деякому сенсі оптимальною. Зокрема, тензор кривини добутку кола на сферу ${𝕊}^1\times {𝕊}^{n-1}$ лежить на межі умови на кривину.

• 2008 року Шаблон:Нп і Крістоф Бем довели гладку теорему про сферу для два-додатності оператора кривини. Зокрема, гладка теорема про сферу виконується за умови додатності оператора кривини.

• 2009 року Шаблон:Не перекладено і Шаблон:Не перекладено довели гладку теорему про сферу з чверть-защепленням. Їхнє доведення істотно використовувало ідеї Вілкінга і Бема.

Література

• Rauch, H.E., A contribution to differential geometry in the large, Ann. of Math. 54 (1951), 38-55
• Klingenberg, W., Contributions to riemannian Geometry in the large, Ann. of Math. 69 (1959), 654—666.
• Berger, M., Les variétés Riemannienes (1/4)-pincées, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, Ser. III, 14 (1960), 161—170.
• Micallef, M., Moore, J. D., Minimal two-spheres and the topology of manifolds with positive curvature on totally isotropic two-planes. Ann. of Math. (2) 127 (1988), 199—227.
• Huisken, G., Ricci deformation on the metric on a Riemannian manifold. Шаблон:Нп 21 (1985), 47-62.
• B. Wilking, C. Böhm: Manifolds with positive curvature operators are space forms. Ann. of Math. (2) 167 (2008), no. 3, 1079—1097.
• Шаблон:Стаття