Куля

Куля з витнутою 1/8 і позначенням радіусу

Шаблон:Otheruses Шаблон:Перенаправлено Куля — тіло, утворене обертанням круга навколо його діаметра. Центром кулі називають центр круга, обертанням якого її утворено. Відрізок, який сполучає центр кулі з довільною точкою її поверхні, — радіус кулі. Відрізок, який сполучає дві довільні точки поверхні кулі, — її хорда. Хорда кулі, яка проходить через центр, — діаметр кулі.

Куля може бути закритою (включати точки на межі які утворюють сферу) і відкритою (не включати їх).

Також можливе інше визначення терміна «куля» — це множина всіх точок простору, що перебувають від заданої точки $O$ на відстані, не більшій за дану відстань $R$. При цьому точка $O$ називається центром, а $R$ — радіусом кулі. Будь-який відрізок, який сполучає центр кулі з точкою кульової поверхні, також називається радіусом.

Поверхня кулі називається сферою. Також дуже часто кулею називають частину простору, обмежену сферою.

Куля в аналітичній геометрії

$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2⩽R^2$ — рівняння кулі з центром в точці з координатами $(a,b,c)$ та радіусом $R$.

Взагалі, рівняння кулі в n-вимірному просторі виглядає як

$(x_1-a_1{)}^2+(x_2-a_2{)}^2+\dots +(x_n-a_n{)}^2⩽R^2$, де $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ — координати її центра.

Куля в 2-вимірному просторі — круг, а в n-вимірному, якщо $n⩾4$, вона називається гіперкулею.

Площа сфери та об'єм кулі

Площу сфери, яка обмежує кулю з радіусом $R$, можна підрахувати за формулою

$S=4\pi R^2$, що приблизно дорівнює $12,6R^2$.

Площа поверхні кулі є найменшою серед площ поверхонь стереометричних тіл з однаковим об'ємом.
Об'єм кулі можна знайти за формулою

$V=\frac{4\pi R^3}{3}\approx 4,2R^3$.

Переріз кулі площиною

Будь-який переріз кулі площиною є круг. Центр цього круга є основою перпендикуляра, опущеного з центра кулі на січну площину. Радіус такого перерізу визначається формулою

$r=\sqrt{R^2-l^2}$, де $R$ — радіус кулі, $l$ — відстань від центра кулі до перерізу.

Площина, яка проходить через центр кулі, називається діаметральною площиною, переріз нею кулі — великим кругом, а переріз сфери — великим колом. Радіус великого круга та великого кола дорівнює радіусові кулі. Будь-яка діаметральна площина кулі є її площиною симетрії.

Частини кулі

Файл:Частини кулі.png

Частини кулі: зеленим кольором позначено сектор, сірим — сегмент, жовтим — зріз кулі.

Сегмент

Шаблон:Main Сегмент кулі — це та її частина, що утворюється внаслідок перерізу площиною. Основними величинами, які характеризують сегмент, є радіус кулі $R$ та довжина перпендикуляра, опущеного на центр перерізу зі сфери, $H$. Довжина цього перпендикуляра також дорівнює різниці між радіусом $R$ і відстанню від центра до перерізу $l$, тобто $H=R-l$. Таким чином об'єм сегмента дорівнює

$V=\frac{1}{3}\pi H^2(3R-H)$,

а площа поверхні —

$S=2\pi RH$

Зріз

Шаблон:Main Зріз (кульовий шар) — це стереометричне тіло, утворене перерізами кулі двома паралельними площинами. Він характеризується такими величинами:

• Радіус відповідної кулі, $R$;
• Відстань між двома перерізами, $H$;
• Радіуси обох перерізів, $r_1,r_2$.

Об'єм зрізу визначається формулою

$V=\frac{1}{6}\pi H^3+\frac{1}{2}\pi (r_1^2+r_2^2)H$,

а площа поверхні —

$S=2\pi RH$.

Сектор

Шаблон:Main Сектор складається з кульового сегмента та конуса, основа якого збігається з основою сегмента, а вершина — з центром кулі. Сектор характеризують радіус кулі $R$ та довжина перпендикуляра, опущеного на центр основи конуса зі сфери, $H$. Об'єм сектора:

$V=\frac{2}{3}\pi R^{2}H$.

Площа його поверхні:

$\pi R(2H+\sqrt{2HR-H^2})$.

Вписані й описані кулі

Описана куля

Шаблон:Докладніше Куля називається описаною навколо багатогранника, якщо всі вершини багатогранника лежать на поверхні кулі (сфери). В цьому випадку багатогранник називають вписаним в кулю. Центр кулі, описаної навколо багатогранника, рівновіддалений від всіх його вершин, тобто є точкою перетину площин, проведених через середини ребер багатогранника (призми, піраміди) перпендикулярно до них. Відстань від центра кулі до вершин багатогранника — його радіус.

Вписана куля

Шаблон:Докладніше Куля називається вписаною в багатогранник, якщо всі грані багатогранника дотикаються до кулі. Багатогранник у цьому випадку називається описаним навколо кулі (сфери). Центр кулі, вписаної у багатогранник, рівновіддалений від усіх його граней. Він є точкою перетину півплощин, проведених через ребра двогранних кутів, утворених двома суміжними гранями, які поділяють цей кут навпіл. Відстань від центра кулі до граней — його радіус.

Додаткові відомості

Куля так само, як циліндр і конус, є тілом обертання. Вона утворюється при обертанні півкруга навколо його діаметра як осі. Цей діаметр називають віссю кулі, а його кінці — полюсами кулі.
Відрізок, який сполучає дві точки кульової поверхні і проходить через центр кулі, називається діаметром. Кінці будь-якого діаметра називаються діаметрально протилежними точками кулі.

Див. також

• Сфера
• Круг і Коло
• Гіперкуля
• Тіла обертання
• Площа і Об'єм

Посилання

• Шаблон:ТС Буд