Центр Шпікера

Центр Шпікера є інцентром серединного трикутника

Центр Шпікера — чудова точка трикутника, яка визначається як центр мас периметра трикутника; тобто центр ваги однорідного дроту, який проходить по периметру трикутника Шаблон:Sfn.

Точку названо на честь німецького геометра XIX століття Шаблон:Не перекладеноШаблон:Sfn. В Енциклопедії центрів трикутника Кларка Кімберлінга вказана як X(10).

Властивості

Центр Шпікера (S) трикутника є центром перетину кліверів (позначені синіми лініями).

Центр Шпікера $S$ — радикальний центр трьох зовнівписаних кіл $\mathrm{△}ABC$. Зеленим кольором позначено радикальні осі відповідних пар кіл; вони перпендикулярні до ліній центрів.

• Центр Шпікера є інцентром серединного трикутника Шаблон:Sfn. Тобто центр Шпікера $\mathrm{△}ABC$ є центром кола, вписаного в серединний трикутник $\mathrm{△}ABC$ (в його додатковий трикутник). Це коло називають Шаблон:Не перекладено.

• Центр Шпікера є центром кліверів трикутника $\mathrm{△}ABC$Шаблон:Sfn. Тобто всі три клівери трикутника перетинаються в одній точці — в центрі Шпікера $S$. (Клівер трикутника — це відрізок, одна вершина якого міститься в середині однієї зі сторін трикутника, друга вершина міститься на одній з двох інших сторін, при цьому клівер розбиває периметр навпіл.)

• Центр Шпікера, інцентр ($I$), центроїд($G$) і точка Наґеля ($M$) Трикутника лежать на одній прямій — на другий прямій Ейлера (прямій Ейлера — Нагеля). Більш того,

$\{\begin{array}{c}IS=SM;\\ IG=2GS;\\ MG=2IG.\end{array}$

• Центр Шпікера лежить на гіперболі Кіперта трикутника.

• Центр Шпікера $\mathrm{△}ABC$ є точкою перетину прямих $AX$, $BY$ і $CZ$, де $\mathrm{△}XBC$, $\mathrm{△}YCA$ і $\mathrm{△}ZAB$ — подібні, рівнобедрені і однаково розташовані, побудовані на сторонах трикутника $\mathrm{△}ABC$ зовні, мають однаковий кут при основі $\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{A}{2}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{B}{2}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{C}{2}\right)$.
  • Ця властивість виконується не тільки для центра Шпікера. Наприклад, перша точка Наполеона $N_1$, як і центр Шпікера, є точкою перетину прямих $AX$, $BY$ і $CZ$, де $\mathrm{△}XBC$, $\mathrm{△}YCA$ і $\mathrm{△}ZAB$ — подібні, рівнобедрені й однаково розташовані, побудовані на сторонах трикутника $\mathrm{△}ABC$ зовні, мають однаковий кут при основі $30^{\circ }$.

• Центр Шпікера є радикальним центром трьох зовнівписаних кілШаблон:Sfn.
• Трикутні координати точки $S$: $(bc(b+c),ca(c+a),ab(a+b))$.

• Барицентричні координати центра Шпікера:

  $(b+c,c+a,a+b)$.

Література

• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга