Теорема Брауера про інваріантність областей

Теорема про інваріантність областей стверджує, що образ відкритої підмножини евклідового простору при неперервному ін'єктивному відображенні у цей же евклідів простір є відкритою множиною. Теорема була доведена Лейтзеном Брауером.

Формулювання

Нехай $U$ — відкрита підмножина у ${ℝ}^n$ і $f:U\to {ℝ}^n$ — ін'єктивне неперервне відображення. Тоді образ $B=f(U)$ є відкритою підмножиною у ${ℝ}^n$, і $f$ є гомеоморфізмом між $U$ і $B,$ тобто є відкритим і замкнутим відображенням.

Образ ін'єктивного неперервного відображення відкритого інтервалу в площину є негомеоморфним самому інтервалу.

Зауваження

• Як видно на картинці, твердження теореми не є вірним для відображення між евклідовими просторами різної розмірності
• Також твердження є невірним для просторів нескінченної розмірності. Наприклад, відображення правого зсуву

  $(x_1,x_2,x_3,\dots )\mapsto (0,x_1,x_2,\dots )$

гільбертового простору у себе є неперервним і ін'єктивним, але не є відкритим.

Доведення

Дане доведення використовує властивості відкритих і замкнутих відображень, а також теорему Брауера — Жордана, що є узагальненням теореми Жордана про криві.

Для доведення теореми достатньо довести, що для будь-якої відкритої множини $V\subset U$ образ $f(V)$ є відкритою підмножиною у ${ℝ}^n$. Більш того достатньо довести твердження для елементів деякої бази топології, наприклад відкритих куль виду $D=\{x\in {ℝ}^n|\Vert x-x_0\Vert <\delta \}$ радіуса $\delta$ із центром $x_0$, що із своїм замиканням $S=\{x\in {ℝ}^n|\Vert x-x_0\Vert =\delta \}$ належать U.

$S$ є компактною множиною і $f{|}_S$ є ін'єктивним неперервним відображенням із компактного простору $S$ у простір ${ℝ}^n$, що є гаусдорфовим. Як неперервне відображення із компактного простору в гаусдорфовий $f{|}_S$ є замкнутим відображенням (замкнута підмножина компактного простору є компактною, її образ при неперервному відображенні теж буде компактною підмножиною, а компактна підмножина гаусдорфового простору є замкнутою; тобто образ замкнутої множини при таких умовах теж э замкнутою множиною). Оскільки $f{|}_S$ є ін'єктивним, то він також є гомеоморфізмом. Тому образ $f(S)$ є гомеоморфним сфері і згідно з теоремою Брауера — Жордана доповнення ${ℝ}^n\setminus f(S)$ є об'єднанням двох компонент зв'язності $U_1,U_2$ перша з яких є обмежена, а друга — необмежена.

Множина $f(\overline{D})$ (де $\overline{D}$ є замиканням $D$) є компактною, як образ компактної множини при неперервному відображенні. Тому $f(\overline{D})$ є обмеженою множиною і ${ℝ}^n\setminus f(\overline{D})$ є необмеженою, зв'язаною областю. Звідси ${ℝ}^n\setminus f(\overline{D})\subseteq U_2$ або еквівалентно $U_1\subseteq f(D).$

Множина $D$ є зв'язаною, тому і $f(D)$ є зв'язаною і тому міститься в одній із компонент зв'язності $U_1,U_2$. Оскільки $U_1\subseteq f(D)$ то цією компонентою є $U_1$ і тоді також $f(D)\subseteq U_1$ і остаточно $f(D)=U_1.$ Тобто образом довільної відкритої множини $D$ із вказаної бази є відкрита множина $U_1$ і відображення є відкритим.

Наслідки

• З теореми випливає, що Евклідові простори різної розмірності не є гомеоморфними.
• За допомогою теореми можна довести багато тверджень про існування опуклих многогранників, зокрема існування опуклого многогранника з даною розгорткою

Узагальнення

• Теорема про інваріантності області допускає пряме узагальнення на відображення між многовидами однакової розмірності.
• Існують також узагальнення для деяких видів неперервних відображень з банахових просторів у себе.

Див. також

• Відкрите відображення
• Замкнуте відображення
• Теорема Брауера про нерухому точку
• Теорема Жордана

Література

• Шаблон:Cite book