Валюація

Валюація — узагальнення поняття міри, зазвичай визначається на опуклих множинах евклідового простору.

Визначення

Нехай $K^n$ — клас усіх непорожніх компактних опуклих множин ${ℝ}^n$. Валюація на $K^n$ це функція $v:K^n\to ℝ$ така, що рівняння

$v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T)$

виконується для будь-яких $S,T\in K^n$ таких, що $S\cup T\in K^n$,

Зауваження

• Валюація називається неперервною, якщо вона неперервна відносно метрики Гаусдорфа.
• Валюація називається інваріантною відносно рухів, якщо для будь-якого руху φ і будь-якого $S\in K^n$виконується

  $v(S)=v(\varphi (S))$

Приклади

Середня поперечна міра

$k$-а середня поперечна міра $W_k(S)$ тіла $S\in K^n$ визначається як середня $k$-вимірна площа проєкцій $S$ на $k$-вимірні площини.

Зокрема,

• $W_n(S)$ — об'єм $S$,
• $W_{n-1}(S)$ — пропорційна площі поверхні $S$.
• $W_k(\lambda \cdot S)=|\lambda {|}^k\cdot W_k(S)$

Валюація Дірака

Валюація Дірака ${\delta }_x$ точки $x$ визначається як

${\delta }_x(U)=\{\begin{array}{cc}0& \text{якщо}x\notin U\\ 1& \text{якщо}x\in U\end{array}$

Властивості

• Теорема Гадвіґера: будь-яку неперервну валюацію, інваріантну відносно рухів, можна подати у вигляді лінійної комбінації поперечних мір.
• Будь-яка валюація на цілих багатогранниках, інваріантна відносно цілих зсувів і $\mathrm{S}\mathrm{L}(n,\mathbb{Z})$, виражається як лінійна комбінація коефіцієнтів многочлена Ергарта.

Література

• Семён Алескер. Введение в теорию валюаций на выпуклых множествах Шаблон:Webarchive. Видеозаписи лекций, Летняя математическая школа «Алгебра и геометрия» 25—31 июля, 2014 Ярославль