Теорема Гадвіґера

Теорема Гадвіґера характеризує неперервні валюації на опуклих тілах в евклідовому просторі, інваріантні відносно рухів. Доведена Гуго Гадвіґером.

Вступ

Валюації

Шаблон:Див. також Нехай $K^n$ — клас усіх непорожніх компактних опуклих множин ${ℝ}^n$. Валюація на $K^n$ це функція $v:K^n\to ℝ$ така, що рівняння

$v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T)$

виконується для будь-яких $S,T\in K^n$ таких, що $S\cup T\in K^n$,

При цьому

• Валюація називається неперервною, якщо вона неперервна відносно метрики Гаусдорфа.
• Валюація називається інваріантною відносно рухів, якщо для будь-якого руху φ і будь-якого $S\in K^n$виконується

  $v(S)=v(\varphi (S))$

Середня поперечна міра

$k$-а середня поперечна міра $W_k(S)$ тіла $S\in K^n$ визначається як середня $k$-вимірна площа проєкцій $S$ на $k$-вимірні площини.

Зокрема,

• $W_n(S)$ — об'єм $S$,
• $W_{n-1}(S)$ — пропорційна площі поверхні $S$.
• $W_k(\lambda \cdot S)=|\lambda {|}^k\cdot W_k(S)$

Формулювання

Будь-яку неперервну валюацію v на Kⁿ, інваріантну відносно рухів, можна подати у вигляді

$v(S)=\sum _{j=0}^n{c}_j\cdot W_j(S).$

Наслідок

Будь-яка неперервна валюація v на Kⁿ, інваріантна відносно жорстких рухів і однорідна за степенем j, кратна W_n-j.

Література

• Семён Алескер. Введение в теорию валюаций на выпуклых множествах Видеозаписи лекций, Летняя математическая школа «Алгебра и геометрия» 25—31 июля, 2014 Ярославль
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Стаття