Ядро Діріхле

Ядро Діріхле — $2\pi$-періодична функція, що задається формулою:

$D_n(x)=\sum _{k=-n}^n\frac{e^{ikx}}{2}=\frac{1}{2}+\sum _{k=1}^n\cos (kx)=\frac{\sin \left((n+\frac{1}{2})x\right)}{2\sin (x/2)}.$

Функція є ядром, згортка з яким дає часткову суму тригонометричного ряда Фур'є. Це дозволяє аналітично оцінювати співвідношення між початковою функцією і її наближеннями в просторі $L_2[-\pi ,\pi ]$.

Доведення тригонометричної тотожності

За допомогою формули суми синусів

Нехай є сума косинусів: $\frac{1}{2}+\cos x+\cos (2x)+...+\cos (nx).$

Помножимо кожен доданок на $2\sin \left(\frac{x}{2}\right)$ і перетворимо одержані доданки за допомогою стандартної тригонометричної формули $2\sin \alpha \cos \beta =\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta ):$

$2\sin \left(\frac{x}{2}\right)(\frac{1}{2}+\cos x+\cos (2x)+...+\cos (nx))=\sin \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}+\sin \frac{3x}{2}-\sin \frac{3x}{2}+...+\sin (n+\frac{1}{2})x=\sin (n+\frac{1}{2})x.$

Необхідна рівність одержується діленням двох сторін на $2\sin \left(\frac{x}{2}\right).$

За допомогою суми геометричної прогресії

Сума скінченної геометричної прогресії є рівною

$\sum _{k=0}^{n}a{r}^k=a\frac{1-r^{n+1}}{1-r}.$

Як наслідок, зокрема:

$\sum _{k=-n}^n{r}^k=r^{-n}\cdot \frac{1-r^{2n+1}}{1-r}.$

Якщо домножити чисельник і знаменник на $r^{-1/2}$, то одержується рівність:

$\frac{r^{-n-1/2}}{r^{-1/2}}\cdot \frac{1-r^{2n+1}}{1-r}=\frac{r^{-n-1/2}-r^{n+1/2}}{r^{-1/2}-r^{1/2}}.$

Для одержання необхідної тотожності у попередньому виразі потрібно взяти $r=e^{ix}.$ Тоді:

$\sum _{k=-n}^n{e}^{ikx}=\frac{e^{-(n+1/2)ix}-e^{(n+1/2)ix}}{e^{-ix/2}-e^{ix/2}}=\frac{-2i\sin ((n+1/2)x)}{-2i\sin (x/2)}=\frac{\sin ((n+1/2)x)}{\sin (x/2)}.$

Співвідношення з рядом Фур'є

Нехай $f(x)$ — інтегровна на $[-\pi ,\pi ]$ і $2\pi$-періодична, тоді $\mathrm{\forall }x\in ℝ,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ для часткової суми ряду Фур'є виконується рівність:

$S_n(f;x)=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x+u)\frac{\sin (n+\frac{1}{2})u}{2\sin \frac{u}{2}}du=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x+u)D_n(u)du$

Ця формула є однією із найважливіших в теорії рядів Фур'є.

Доведення

Розглянемо n-ну часткову суму ряду Фур'є:

$S_n(f;x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^n(a_k\cos (kx)+b_k\sin (kx))(1)$

$S_n(f;x)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(t)dt+\sum _{k=1}^n[(\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(t)\cos (kt)dt)\cos (kx)+(\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(t)\sin (kt)dt)\sin (kx)](2)$

$S_n(f;x)=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(t)[\frac{1}{2}+\sum _{k=1}^n(\cos (kt)\cos (kx)+\sin (kt)\sin (kx))]dt(3)$

Застосовуючи формулу косинуса різниці до виразу під знаком суми, одержуємо:

$S_n(f;x)=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(t)[\frac{1}{2}+\sum _{k=1}^n(\cos (k(t-x))]dt(4)$

Застосовуючи це перетворення до формули (4), одержуємо:

$S_n(f;x)=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(t)\frac{\sin (n+\frac{1}{2})(t-x)}{2\sin \frac{t-x}{2}}dt(5)$

Після заміни змінної $u=t-x$

$S_n(f;x)=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi -x}{\overset{\pi -x}{\int }}f(x+u)\frac{\sin (n+\frac{1}{2})u}{2\sin \frac{u}{2}}du=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x+u)\frac{\sin (n+\frac{1}{2})u}{2\sin \frac{u}{2}}du(6)$

Властивості ядра Діріхле

• $D_n(x)$ — функція $2\pi$-періодична і парна.
• $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{D}_n(u)du=\pi$

Див. також

• Ряд Фур'є
• Список тригонометричних тотожностей
• Ядро Феєра