Група вузла

Група вузла — характеристика вузла, що визначається як фундаментальна група його доповнення.

Визначення

Нехай $K\subset {ℝ}^3$ — вузол. Тоді група вузла вузла визначається як фундаментальна група ${\pi }_1({ℝ}^3\setminus K)$.Шаблон:Sfn

Коментар

За іншими домовленостями вузол розглядається як вкладення кола в 3-сферу. В цьому випадку групу вузла визначають як фундаментальну групу його доповнення в $S^3$. Обидва визначення дають ізоморфні групи.

Властивості

• Два еквівалентних вузли мають ізоморфні групи вузлів, так що група вузла є інваріантом вузла і може бути використана для встановлення нееквівалентності пари вузлів. Однак два нееквівалентних вузли можуть мати ізоморфні групи вузлів (див. приклад нижче).

• Абелізація вузла завжди ізоморфна нескінченній циклічній групі $\mathbb{Z}$. Це випливає з того, що абелізація збігається з першою групою гомологій, яку легко обчислити.

• Групу вузлів (а також фундаментальну групу орієнтованих зачеплень у загальному випадку) можна обчислити за допомогою порівняно простих алгоритмів, використовуючи Шаблон:Не перекладено.

Приклади

• Група тривіального вузла ізоморфна $\mathbb{Z}$.
  • Зворотне також істинне.
• Група трилисника ізоморфна групі кіс $B^3$, ця група має задання:

  $⟨x,y\mid x^2=y^3⟩$ або $⟨a,b\mid aba=bab⟩$.

• Група $(p,q)$-торичного вузла має задання:

  $⟨x,y\mid x^p=y^q⟩$.

• Група вісімки має задання:

  $⟨x,y\mid yx{y}^{-1}xy=xy{x}^{-1}yx⟩$.

• Прямий вузол і бабин вузол мають ізоморфні групи вузлів, але ці вузли не еквівалентні.

Див. також

• Шаблон:Не перекладено

Література

• Шаблон:Із
• Шаблон:Книга