Нецентрований хі розподіл

У теорії ймовірностей та статистиці нецентрований розподіл хі є нецентральним узагальненням розподілу хі.

Означення

Якщо $X_i$ - k незалежних, нормально розподілених випадкових величин із середніми ${\mu }_i$ і дисперсіями ${\sigma }_i^2$, то статистика

$Z=\sqrt{\sum _{i=1}^k{\left(\frac{X_i}{{\sigma }_i}\right)}^2}$

має нецентрований розподіл хі. Нецентрований розподіл хі має два параметри: $k$ який визначає кількість ступенів свободи (тобто кількість $X_i$ ), і $\lambda$ що пов'язаний із середнім значенням випадкових величин $X_i$ рівнянням:

$\lambda =\sqrt{\sum _{i=1}^k{\left(\frac{{\mu }_i}{{\sigma }_i}\right)}^2}$

Властивості

Функція щільності

Функція густини ймовірності (pdf) записується

$f(x;k,\lambda )=\frac{e^{-(x^2+{\lambda }^2)/2}{x}^k\lambda }{(\lambda x{)}^{k/2}}{I}_{k/2-1}(\lambda x)$

де $I_{\nu }(z)$ - модифікована функція Бесселя першого роду.

Початкові моменти

Перші кілька початкових моментів :

${\mu }_1^{\text{'}}=\sqrt{\frac{\pi }{2}}{L}_{1/2}^{(k/2-1)}\left(\frac{-{\lambda }^2}{2}\right)$

${\mu }_2^{\text{'}}=k+{\lambda }^2$

${\mu }_3^{\text{'}}=3\sqrt{\frac{\pi }{2}}{L}_{3/2}^{(k/2-1)}\left(\frac{-{\lambda }^2}{2}\right)$

${\mu }_4^{\text{'}}=(k+{\lambda }^2{)}^2+2(k+2{\lambda }^2)$

де $L_n^{(a)}(z)$ - функція Лаґерра . Зверніть увагу, що 2 $n$ий момент такий самий, як і $n$ий момент нецентрованого розподілу хі-квадрат, де $\lambda$ замінюється на ${\lambda }^2$ .

Двовимірний нецентрований розподіл хі

Нехай $X_j=(X_{1j},X_{2j}),j=1,2,\dots n$, набір n незалежних і однаково розподілених двовимірних нормальних випадкових векторів з граничними розподілами $N({\mu }_i,{\sigma }_i^2),i=1,2$, кореляцією $\rho$, і матрицею середнього вектора та коваріації

$E(X_j)=\mu =({\mu }_1,{\mu }_2{)}^T,\mathrm{\Sigma }=\left[\begin{array}{cc}{\sigma }_{11}& {\sigma }_{12}\\ {\sigma }_{21}& {\sigma }_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\sigma }_1^2& \rho {\sigma }_1{\sigma }_2\\ \rho {\sigma }_1{\sigma }_2& {\sigma }_2^2\end{array}\right],$

з $\mathrm{\Sigma }$ позитивно визначений . Позначимо

$U={\left[\sum _{j=1}^n\frac{X_{1j}^2}{{\sigma }_1^2}\right]}^{1/2},V={\left[\sum _{j=1}^n\frac{X_{2j}^2}{{\sigma }_2^2}\right]}^{1/2}.$

Тоді спільний розподіл U, V є центрованим або нецентрованим двовимірним розподілом хі з n ступенями свободи. Якщо один або обидва ${\mu }_1\ne 0$ або ${\mu }_2\ne 0$, то розподіл нецентрований двовимірний розподіл хі.

Подібні розподіли

• Якщо $X$ є випадкова величина з нецентрованим розподілом хі, випадкова величина $X^2$ матиме нецентрований розподіл хі-квадрат .
• Якщо $X$ має розподіл хі: $X\sim {\chi }_k$, тоді $X$ також нецентрований хі розподіл: $X\sim NC{\chi }_k(0)$ . Іншими словами, розподіл хі є окремим випадком нецентрованого розподілу хі (тобто з нульовим параметром нецентрованості).
• Нецентрований розподіл хі з 2 ступенями свободи еквівалентний розподілу Райса, де $\sigma =1$ .
• Якщо X має нецентрований розподіл хі з 1 ступенем свободи та параметром нецентрованості λ, то σ X має згорнений нормальний розподіл, параметри якого дорівнюють σλ і σ ² для будь-якого значення σ.