Точка Аполлонія

Шаблон:Не плутати У геометрії трикутника точка Аполлонія — це особлива точка, пов'язана з плоским трикутником. Ця точка є одним із центрів трикутника, і в Енциклопедії центрів трикутника Кларка Кімберлінга її позначено як X(181). Центр Аполлонія також пов'язаний з задачею Аполлонія.

У літературі термін «точки Аполлонія» також використовувався для позначення ізодинамічних точок трикутника. Це пояснюється тим, що ізодинамічні точки пов'язані з трьома аполоніївськими колами, пов'язаними з трикутником.

Розв'язок задачі Аполлонія відомий потягом століть, проте точку Аполлонія вперше позначено 1987 року.

Визначення

Точка Аполлонія трикутника визначається так.

Нехай $ABC$ — даний трикутник. Нехай $E_A$, $E_B$, $E_C$ — зовнівписані кола трикутника $ABC$, протилежні до вершин $A$, $B$, $C$ відповідно. Нехай $E$ — коло, яке дотикається до трьох кіл $E_A$, $E_B$, $E_C$ так, що вони лежать в $E$. Нехай $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$ — точки дотику кола $E$ з трьома колами. Відрізки $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$ перетинаються в одній точці. Точка перетину — точка Аполлонія трикутника $ABC$.

Задача Аполлонія — це задача побудови кола, дотичного до трьох даних кіл у площині. Загалом існує вісім кіл, що дотикаються до трьох даних кіл. Коло $E$, згадане у визначенні, є одним із цих восьми кіл, що дотикаються до трьох зовнівписаних кіл трикутника $ABC$. В Енциклопедії центрів трикутників коло $E$ називається колом Аполлонія трикутника $ABC$.

Трилінійні координати

Трилінійними координатами точки Аполлонія є

$\frac{a(b+c{)}^2}{b+c-a}:\frac{b(c+a{)}^2}{c+a-b}:\frac{c(a+b{)}^2}{a+b-c}$

$={\sin }^{2}A{\cos }^2(\frac{B}{2}-\frac{C}{2}):{\sin }^{2}B{\cos }^2(\frac{C}{2}-\frac{A}{2}):{\sin }^{2}C{\cos }^2(\frac{A}{2}-\frac{B}{2}).$

Див. також

• Точки Аполлонія
• Теорема Аполлонія
• Задача Аполлонія
• Кола Аполлонія
• Ізодинамічна точка трикутника
• Аполлоній Перзький (262—190 рр. до н. е.), геометр і астроном