Унімодулярна ґратка

Унімодулярна ґратка — ціла ґратка з визначником $\pm 1$. Останнє еквівалентне тому, що об'єм фундаментальної області ґратки дорівнює $1$.

Визначення

• Ґратка — вільна абелева група ${\mathbb{Z}}^n$ скінченного рангу $n$ із симетричною білінійною формою $(*,*)$.
• Ґратку можна також розглядати як підгрупу в дійсному векторному просторі ${ℝ}^n$ із симетричною білінійною формою.
• Число $n$ називається розмірністю ґратки, це розмірність відповідного дійсного векторного простору; це те саме, що й ранг $\mathbb{Z}$-модуля ${\mathbb{Z}}^n$, або число твірних вільної групи ${\mathbb{Z}}^n$.
• Ґратка називається цілою, якщо форма $(*,*)$ набуває тільки цілочисельних значень.
• Норма елемента $a$ ґратки визначається як $(a,a)$.
• Ґратка називається додатно визначеною або лоренцевою, і так далі, якщо таким є її векторний простір. Зокрема:
  • Ґратка є додатно визначеною, якщо норма всіх ненульових елементів додатна.
  • Сигнатура ґратки визначається як сигнатура форми на векторному просторі.
• Визначник ґратки — це визначник матриці Грама її базису.
• Ґратка називається унімодулярною, якщо її визначник дорівнює $\pm 1$.
• Унімодулярна ґратка називається парною, якщо всі норми її елементів парні.

Приклади

• $\mathbb{Z}\subset ℝ$, а також ${\mathbb{Z}}^n\subset {ℝ}^n$ — унімодулярні ґратки.
• Ґратка E8, ґратка Ліча — парні унімодулярні ґратки.

Властивості

• Для даної ґратки в $\mathrm{\Lambda }\in {ℝ}^n$ вектори $x\in {ℝ}^n$ такі, що $(x,a)\in \mathbb{Z}$ для будь-якого $a\in \mathrm{\Lambda }$ також утворюють ґратку звану двоїстою ґраткою до $\mathrm{\Lambda }$.
  • Ціла ґратка унімодулярна тоді й лише тоді, коли її двоїста ґратка є цілою.
  • Унімодулярна ґратка тотожна своїй двоїстій, тому унімодулярні ґратки також називаються самодвоїстими.
• Непарні унімодулярні ґратки існують для всіх сигнатур.
• Парна унімодулярна ґратка із сигнатурою $(m,n)$ існує тоді й лише тоді, коли $m-n$ ділиться на 8.
  • Зокрема, парні додатно визначені унімодулярні ґратки існують тільки в розмірностях, кратних 8.
• Тета-функція унімодулярних додатно визначених ґраток є модулярною формою.

Застосування

• Друга група когомологій замкнутих однозв'язних орієнтованих топологічних чотиривимірних многовидів є унімодулярною ґраткою. Михайло Фрідман показав, що ця ґратка практично визначає многовид: існує єдиний многовид для кожної парної унімодулярної ґратки, і рівно по два для кожної непарної унімодулярної ґратки.
  • Зокрема, для нульової форми це приводить до гіпотези Пуанкаре для 4-вимірних топологічних многовидів.
  • Теорема Дональдсона свідчить, що якщо многовид є гладким і його ґратка додатно визначена, то вона повинна бути сумою копій $\mathbb{Z}$.
    • Зокрема, що більшість із цих многовидів не має гладкої структури.

Література

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation

Посилання

• Каталог унімодулярних ґраток Ніла Слоуна.
• Шаблон:OEIS