Описаний многокутник

Описана трапеція

Описаний многокутник, відомий також як тангенціальний многокутник — це опуклий многокутник, що містить вписане коло. Це таке коло, відносно якого кожна сторона описаного многокутника є дотичною. Шаблон:Не перекладено описаного многокутника — це многокутник, який має описане коло, що проходить через усі його вершини.

Всі трикутники є описаними для якогось кола, як і всі правильні многокутники з довільним числом сторін. Добре вивчена група описаних многокутників — описані чотирикутники, куди входять ромби і дельтоїди.

Описи

Опуклий многокутник має вписане коло тоді й лише тоді, коли всі його внутрішні бісектриси кутів конкурентні (перетинаються в одній точці) і ця спільна точка перетину є центром уписаного колаШаблон:Sfn.

Існує описаний многокутник з n послідовними сторонами $a_1,\dots ,a_n$ тоді і тільки тоді, коли система рівнянь

$x_1+x_2=a_1,x_2+x_3=a_2,\dots ,x_n+x_1=a_n$

має розв'язок $(x_1,\dots ,x_n)$ у додатних дійсних числахШаблон:Sfn. Якщо такий розв'язок існує, то $x_1,\dots ,x_n$ є дотичними довжинами многокутника (довжинами від вершини до точки дотику на стороні).

Єдиність і неєдиність

Якщо число сторін n непарне, то для будь-якого заданого набору довжин сторін $a_1,\dots ,a_n$, що задовольняють критерію, наведеному вище, існує тільки один описаний многокутник. Але якщо n парне, їх існує нескінченне числоШаблон:Sfn. Наприклад, у разі чотирикутника, коли всі сторони рівні, ми будемо мати ромб з будь-якою величиною гострого кута і всі ці ромби будуть описані навколо якого-небудь кола.

Радіус вписаного кола

Якщо довжини сторін описаного многокутника дорівнюють $a_1,\dots ,a_n$, то радіус вписаного кола дорівнюєШаблон:Sfn

$r=\frac{K}{s}=\frac{2K}{\sum _{i=1}^n{a}_i}$

де K — площа многокутника, а s — його півпериметр. (Оскільки всі трикутники мають уписане коло, ця формула застосовна до всіх трикутників.)

Інші властивості

• Для описаного многокутника з непарним числом сторін усі сторони рівні тоді й лише тоді, коли кути рівні (правильний многокутник). Описаний многокутник з парним числом сторін має всі сторони рівними тоді й лише тоді, коли кути почергово рівні.
• В описаному многокутнику з парним числом сторін сума довжин непарних сторін дорівнює сумі довжин парних сторінШаблон:Sfn.
• Описаний многокутник має більшу площу, ніж будь-який інший многокутник з тим самим периметром і такими самими внутрішніми кутами в тій самій послідовностіШаблон:SfnШаблон:Sfn.
• Барицентр будь-якого описаного многокутника, барицентр його точок межі і центр уписаного кола колінеарні і барицентр многокутника міститься між двома іншими зазначеними центрами і вдвічі далі від центра вписаного кола, ніж від барицентра межіШаблон:Sfn.

Описаний трикутник

Всі трикутники мають деяке вписане коло. Трикутник називають тангенціальним трикутником розглянутого трикутника, якщо всі точки дотику тангенціального трикутника кола є вершинами розглянутого трикутника.

Описаний шестикутник

Конкурентні головні діагоналі

• В описаному шестикутнику ABCDEF, згідно з теоремою Бріаншона, головні діагоналі AD, BE і CF конкурентні.

Література

• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття