Критерій Андерсона — Дарлінга

Класичний непараметричний критерій узгодженості Андерсона — Дарлінга [1, 2] призначений для перевірки простих гіпотез про належність аналізованої вибірки повністю відомому закону (про узгодженість емпіричного розподілення $F_n(x)$ і теоретичного закону $F(x,\theta )$) , тобто для перевірки гіпотези вигляду $H_0:F_n(x)=F(x,\theta )$ з відомим вектором параметрів теоретичного закону.

В критерії ${\mathrm{\Omega }}^2$ Андерсона — Дарлінга [1, 2] використовується статистика виду:

$S_{\mathrm{\Omega }}=-n-2\sum _{i=1}^n\{\frac{2i-1}{2n}\ln (F(x_i,\theta ))+(1-\frac{2i-1}{2n})\ln (1-F(x_i,\theta ))\}$,

де $n$ — об'єм вибірки, $x_1,x_2,...,x_n$ — впорядковані за зростанням елементи вибірки.

При справедливості простої гіпотези, що перевіряється, статистика критерію підпорядковується розподіленню виду $a2(S)$ [2, 3, 4].

При перевірці простих гіпотез критерій є вільним від розподілу, тобто не залежить від виду закону, з яким перевіряється узгодженість.

Гіпотеза, яка перевіряється, відхиляється при великих значеннях статистики. Процентні точки розподілу $a2(S)$ наведені в [3, 4].

Перевірка складних гіпотез

При перевірці складних гіпотез виду $H_0:F_n(x)\in \{F(x,\theta ),\theta \in \mathrm{\Theta }\}$ , де оцінка $\hat{\theta }$ скалярного або векторного параметра розподілення $F(x,\theta )$ вираховується по тій же вибірці, непараметричні критерії узгодженості втрачають властивість свободи від розподілу [5, 4] (розподілом статистики при справедливості $H_0$ вже не буде розподіл $a2(S)$).

При перевірці складних гіпотез розподілення статистик непараметричних критеріїв узгодженості залежать від ряду факторів: від виду спостережуваного закону $F(x,\theta )$ , який відповідає справедливій гіпотезі $H_0$; від типу оцінюваного параметра і числа оцінюваних параметрів; в деяких випадках від конкретного значення параметра (наприклад, в разі сімейств гамма і бета-розподілів); від методу оцінювання параметрів. Відмінності в граничних розподілах тієї ж самої статистики при перевірці простих і складних гіпотез настільки істотні, що нехтувати цим ні в якому разі не можна.

Див. також

• Критерій узгодженості Колмогорова
• Критерій узгодженості Пірсона
• Статистичний критерій

Література

1. Anderson T. W., Darling D. A. Asymptotic theory of certain «goodness of fit» criteria based on stochastic processes // Ann. Math. Statist. — 1952. — V. 23. — P. 193—212.
2. Anderson T. W., Darling D. A. A test of goodness of fit // J. Amer. Stist. Assoc., 1954. — V. 29. — P. 765—769.
3. Большев Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. — М.: Наука, 1983. — 416 с.
4. Р 50.1.037-2002. Рекомендации по стандартизации. Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. Часть II. Непараметрические критерии. Шаблон:Webarchive — М.: Изд-во стандартов, 2002. — 64 с.
5. Kac M., Kiefer J., Wolfowitz J. On Tests of Normality and Other Tests of Goodness of Fit Based on Distance Methods // Ann. Math. Stat. — 1955. — V. 26. — P. 189—211.

Посилання

Про застосування критерію при перевірці складних гіпотез:

• Statistic Distribution Models for Some Nonparametric Goodness-of-Fit Tests in Testing Composite Hypotheses // Communications in Statistics — Theory and Methods, 2010. Vol. 39. — No. 3. — P. 460—471.
• Модели распределений статистик непараметрических критериев согласия при проверке сложных гипотез с использованием оценок максимального правдоподобия. Ч. I Шаблон:Webarchive // Измерительная техника. — 2009. — № 6. — С. 3—11.
• Модели распределений статистик непараметрических критериев согласия при проверке сложных гипотез с использованием оценок максимального правдоподобия. Ч. II Шаблон:Webarchive // Измерительная техника. — 2009. — № 8. — С. 17—26.

Про потужність критеріїв узгодженості:

• Сравнительный анализ мощности критериев согласия при близких конкурирующих гипотезах. I. Проверка простых гипотез Шаблон:Webarchive // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2008. — Т. 11. — № 2(34). — С. 96—111.
• Сравнительный анализ мощности критериев согласия при близких альтернативах. II. Проверка сложных гипотез Шаблон:Webarchive // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2008. — Т. 11. — № 4(36). — С. 78—93.
• Мощность критериев согласия при близких альтернативах Шаблон:Webarchive // Измерительная техника. — 2007. — № 2. — С. 22—27.