Бабин вузол (теорія вузлів)

Бабин вузол

В теорії вузлів бабин вузол — це складений вузол, отриманий з'єднанням двох однакових трилисників. Вузол тісно пов'язаний з прямим вузлом, який теж можна описати як поєднання двох трилисників. Оскільки трилисник є найпростішим нетривіальним вузлом, прямий і бабин вузли є найпростішими складеними вузлами.

Бабин вузол є математичною версією побутового бабиного вузла.

Побудова

Бабин вузол можна побудувати з двох однакових трилисників, які повинні бути або обидва лівими, або обидва правими. Кожен з вузлів розсікається і вільні кінці попарно з'єднуються. В результаті з'єднання отримуємо бабин вузол.

Важливо, щоб бралися два однакових образи трилисника. Якщо взяти два дзеркальних трилисники, вийде прямий вузол.

Властивості

Число перетинів бабиного вузла дорівнює 6, що є мінімумом для складених вузлів. На відміну від прямого вузла, бабин вузол не є стрічковим або зрізаним.

Многочлен Александера бабиного вузла дорівнює

$\mathrm{\Delta }(t)=(t-1+t^{-1}{)}^2,$

що просто є квадратом многочлена Александера трилисника. Аналогічно, многочлен Александера — Конвея бабиного вузла дорівнює

$\mathrm{\nabla }(z)=(z^2+1{)}^2.$

Ці два многочлени такі самі, що й для прямого вузла, однак многочлен Джонса (правого) бабиного вузла дорівнює

$V(q)=(q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}{)}^2=q^{-2}+2q^{-4}-2q^{-5}+q^{-6}-2q^{-7}+q^{-8}.$

Цей многочлен дорівнює квадрату многочлена Джонса для правого трилисника і він відрізняється від многочлена Джонса для прямого вузла.

Група бабиного вузла задається таким чином

$⟨x,y,z\mid xyx=yxy,xzx=zxz⟩$.

Ця група ізоморфна групі прямого вузла, і це найпростіший приклад двох різних вузлів з ізоморфними групами вузлів.

Див. також

• Подвійний вузол
• Бабин вузол
• Прямий вузол (теорія вузлів)

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга