Поліноми Белла

У комбінаториці поліноми Белла, що названі на честь Еріка Темпла Белла, використовуються для вивчення заданих розділів. Вони пов'язані з числами Стірлінга та Белла. Вони також зустрічаються у багатьох програмах, наприклад у формулі Фаа ді Бруно.

Поліноми Белла

Експоненційні поліноми Белла

Часткові або неповні експоненційні поліноми Белла — це трикутний масив поліномів, заданий

B_{n, k} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n - k + 1}) = \sum \frac{n!}{j_{1}! j_{2}! \dots j_{n - k + 1}!} {(\frac{x_{1}}{1!})}^{j_{1}} {(\frac{x_{2}}{2!})}^{j_{2}} \dots {(\frac{x_{n - k + 1}}{(n - k + 1)!})}^{j_{n - k + 1}},

де сума береться за всіма послідовностями j₁, j₂, j₃, ..., j_{n — k +1} невід’ємних цілих чисел, таким чином, що б виконувалися наступні дві умови :

j_{1} + j_{2} + \dots + j_{n - k + 1} = k,

j_{1} + 2 j_{2} + 3 j_{3} + \dots + (n - k + 1) j_{n - k + 1} = n .

Сума

B_{n} (x_{1}, \dots, x_{n}) = \sum_{k = 1}^{n} B_{n, k} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n - k + 1})

називається n-м повним експоненційними полінонмоми Белла.

Звичайні поліноми Белла

Так само часткові звичайні поліноми Белла, на відміну від звичайного експоненціального многочлена Белла, визначений вище, задається формулою

{\hat{B}}_{n, k} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n - k + 1}) = \sum \frac{k!}{j_{1}! j_{2}! \dots j_{n - k + 1}!} x_{1}^{j_{1}} x_{2}^{j_{2}} \dots x_{n - k + 1}^{j_{n - k + 1}},

де сума пробігає всі послідовності j₁, j₂, j₃, ..., j_{n – k +1} невід'ємних цілих чисел, таких що

j_{1} + j_{2} + \dots + j_{n - k + 1} = k,

j_{1} + 2 j_{2} + \dots + (n - k + 1) j_{n - k + 1} = n .

Звичайні поліноми Белла можна виразити в термінах експоненційних поліномів Белла:

{\hat{B}}_{n, k} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n - k + 1}) = \frac{k!}{n!} B_{n, k} (1! \cdot x_{1}, 2! \cdot x_{2}, \dots, (n - k + 1)! \cdot x_{n - k + 1}) .

Як правило, під поліномами Белла маються на увазі експоненційні поліноми Белла, якщо не зазначено іншого.

Комбінаторний сенс

Експоненційні поліноми Белла безпосередньо стосується способів розбиття множин. Наприклад, якщо ми розглядаємо множину {A, B, C}, її можна розбити на два непусті, підмножини що не перетинаються, які також називають частинами або блоками, 3 різними способами:

{{A}, {B, C}}

{{B}, {A, C}}

{{C}, {B, A}}

Таким чином, ми можемо закодувати інформацію щодо цих розбиттів як

B_{3, 2} (x_{1}, x_{2}) = 3 x_{1} x_{2} .

Тут підписники B_3,2 говорять нам, що ми розглядаємо поділ набору з 3-х елементів на 2 блоки. Підрядник кожного x_i вказує на наявність блоку з елементами j (або блоку розміру i) в заданому розділі. Отже, x₂ вказує на наявність блоку з двома елементами. Аналогічно, x₁ вказує на наявність блоку з одним елементом. Експонент x_i^j вказує на те, що в одному розбитті є j таких блоків розміром i. Тут, оскільки і x₁, і x₂ є експонент 1, це вказує, що в даному розділі є лише один такий блок. Коефіцієнт одночлена вказує, скільки таких перегородок є. У нашому випадку є 3 розділи набору з 3 елементами на 2 блоки, де в кожній секції елементи розділені на два блоки розмірами 1 і 2.

Оскільки будь-який набір може бути розділений на один блок лише одним способом, вищезгадане тлумачення означало б, що B_n,1 = x_n. Аналогічно, оскільки існує лише один спосіб поділу множини з n елементами на n одиниць, B_n,n = x₁ⁿ.

Як складніший приклад розглянемо

B_{6, 2} (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}) = 6 x_{5} x_{1} + 15 x_{4} x_{2} + 10 x_{3}^{2}

Це говорить нам про те, що якщо набір з 6 елементами розділений на 2 блоки, то ми можемо мати 6 розділів з блоками розміру 1 і 5, 15 розділів з блоками розміру 4 і 2, і 10 розділів з 2 блоками розміром 3.

Сума підписок у монометах дорівнює загальній кількості елементів. Таким чином, кількість одночленів, що з'являються в частковому многочлені Белла, дорівнює кількості способів, що ціле число n може бути виражене як підсумок k додатних цілих чисел. Це і є розбиття числа n на k частин. Наприклад, у вище наведених прикладах ціле число 3 можна розділити на дві частини лише як 2 + 1. Таким чином, у B_3,2 містить лише один одночлен. Однак ціле число 6 можна розділити на дві частини як 5 + 1, 4 + 2 і 3 + 3. Таким чином, B_6,2 містить три одночлени. Дійсно, індекси змінних у мономери такі самі, як ті, які задаються цілим розділом, що вказує на розміри різних блоків. Таким чином, загальна кількість одночленів, що з'являються в повному поліномі Белла B_n, дорівнює загальній кількості розбиттів числа n.

Також ступінь кожного одночлена, що є сумою експонентів кожної змінної в мономі, дорівнює кількості блоків, на які поділяється множина. Тобто j ₁ + j ₂ + ... = k. Таким чином, задавши повний многочлен Белла B _n, ми можемо відокремити частковий многочлен Белла B_n,k, зібравши всі ці мономи зі ступенем k.

Нарешті, якщо знехтувати розмірами блоків і поставити всі x_i = x, то підсумовування коефіцієнтів часткового многочлена Белла B_{n, k} дасть загальну кількість способів розподілу множини з n елементів k блоки, що те саме, що числа Стірлінга другого роду. Крім того, підсумовування всіх коефіцієнтів повного многочлена Белла B_n дасть нам загальну кількість способів поділити набір з п елементами на підмножини, що не перекриваються, що те саме, що і число Белла.

Загалом, якщо ціле число n розбиттів на суму, в якій «1» з'являється j₁ раз, «2» з'являється j₂ рази і так далі, то кількість розбиття множини розміром n, які згортаються до цього розділу цілого числа n, коли члени множини стають невідрізними, — це відповідний коефіцієнт у многочлени.

Приклади

Нехай, ми маємо

B_{6, 2} (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}) = 6 x_{5} x_{1} + 15 x_{4} x_{2} + 10 x_{3}^{2}

оскільки є

6 способів розбити множину 6 як 5 + 1,

15 способів розбити множину 6 як 4 + 2, і

10 способів розбити множину 6 як 3 + 3.

Подібно

$B_{6, 3} (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = 15 x_{4} x_{1}^{2} + 60 x_{3} x_{2} x_{1} + 15 x_{2}^{3}$

оскільки є

15 способів розбити множину 6 на 4 + 1 + 1,

60 способів розділити множину 6 як 3 + 2 + 1, і

15 способів розбити множину 6 як 2 + 2 + 2.

Властивості

Генератриса

Експоненційні часткові поліноми Белла можна визначити подвійним розкладом у ряд його генератриси:

\begin{matrix} Φ (t, u) & = \exp (u \sum_{j = 1}^{\infty} x_{j} \frac{t^{j}}{j!}) = \sum_{n \geq k \geq 0} B_{n, k} (x_{1}, \dots, x_{n - k + 1}) \frac{t^{n}}{n!} u^{k} \\ = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{t^{n}}{n!} \sum_{k = 1}^{n} u^{k} B_{n, k} (x_{1}, \dots, x_{n - k + 1}) . \end{matrix}

Інакше кажучи, що є фактично те ж саме, шляхом розкладу у ряд k-го степеню:

\frac{1}{k!} {(\sum_{j = 1}^{\infty} x_{j} \frac{t^{j}}{j!})}^{k} = \sum_{n = k}^{\infty} B_{n, k} (x_{1}, \dots, x_{n - k + 1}) \frac{t^{n}}{n!}, k = 0, 1, 2, \dots

Повні експоненційні поліноми Белла визначається за допомогою $Φ (t, 1)$ або інакше:

Φ (t, 1) = \exp (\sum_{j = 1}^{\infty} x_{j} \frac{t^{j}}{j!}) = \sum_{n = 0}^{\infty} B_{n} (x_{1}, \dots, x_{n}) \frac{t^{n}}{n!} .

Таким чином, n -й повні поліноми Белла задається як

B_{n} (x_{1}, \dots, x_{n}) = {{(\frac{\partial}{\partial t})}^{n} \exp (\sum_{j = 1}^{\infty} x_{j} \frac{t^{j}}{j!}) |}_{t = 0} .

Так само звичайні часткові поліноми Белла можна визначити твірною функцією

\hat{Φ} (t, u) = \exp (u \sum_{j = 1}^{\infty} x_{j} t^{j}) = \sum_{n \geq k \geq 0} {\hat{B}}_{n, k} (x_{1}, \dots, x_{n - k + 1}) t^{n} \frac{u^{k}}{k!} .

Або, що еквівалентно, розкладом у ряд k-ї степеня:

{(\sum_{j = 1}^{\infty} x_{j} t^{j})}^{k} = \sum_{n = k}^{\infty} {\hat{B}}_{n, k} (x_{1}, \dots, x_{n - k + 1}) t^{n} .

Дивись також перетворення твірної функції для розкладу у ряд твірної функцій поліномів Белла що є композицією послідовностей твірних функцій та степенів, логаритмів та експоненційної функції, що послідовності твірних функцій. Кожна з цих формул можна знайти у відповідних розділах праці КомтетаШаблон:Sfn.

Рекурентні співвідношення

Повні поліноми Белла можна визначити за допомогою рекурентних співвідношень як

B_{n + 1} (x_{1}, \dots, x_{n + 1}) = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) B_{n - i} (x_{1}, \dots, x_{n - i}) x_{i + 1}

з початковим значенням $B_{0} = 1$ .

Часткові поліноми Белла також можна ефективно обчислені рекурентним співвідношенням:

$B_{n, k} = \sum_{i = 1}^{n - k + 1} (\binom{n - 1}{i - 1}) x_{i} B_{n - i, k - 1},$

де

B_{0, 0} = 1;

B_{n, 0} = 0 for n \geq 1;

$B_{0, k} = 0 for k \geq 1 .$

Повні поліноми Белла також задовольняють такій диференціальній рекурентній формуліШаблон:Sfn:

$\begin{matrix} B_{n} (x_{1}, \dots, x_{n}) = \frac{1}{n - 1} [\sum_{i = 2}^{n} & \sum_{j = 1}^{i - 1} (i - 1) (\binom{i - 2}{j - 1}) x_{j} x_{i - j} \frac{\partial B_{n - 1} (x_{1}, \dots, x_{n - 1})}{\partial x_{i - 1}} \\ + \sum_{i = 2}^{n} \sum_{j = 1}^{i - 1} \frac{x_{i + 1}}{(\binom{i}{j})} \frac{\partial^{2} B_{n - 1} (x_{1}, \dots, x_{n - 1})}{\partial x_{j} \partial x_{i - j}} \\ + \sum_{i = 2}^{n} x_{i} \frac{\partial B_{n - 1} (x_{1}, \dots, x_{n - 1})}{\partial x_{i - 1}}] . \end{matrix}$

У формі визначника

Повні поліноми Белла можна виразити у вигляді визначника:

$B_{n} (x_{1}, \dots, x_{n}) = \det [\begin{matrix} x_{1} & (\binom{n - 1}{1}) x_{2} & (\binom{n - 1}{2}) x_{3} & (\binom{n - 1}{3}) x_{4} & (\binom{n - 1}{4}) x_{5} & \dots & \dots & x_{n} \\ - 1 & x_{1} & (\binom{n - 2}{1}) x_{2} & (\binom{n - 2}{2}) x_{3} & (\binom{n - 2}{3}) x_{4} & \dots & \dots & x_{n - 1} \\ 0 & - 1 & x_{1} & (\binom{n - 3}{1}) x_{2} & (\binom{n - 3}{2}) x_{3} & \dots & \dots & x_{n - 2} \\ 0 & 0 & - 1 & x_{1} & (\binom{n - 4}{1}) x_{2} & \dots & \dots & x_{n - 3} \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & x_{1} & \dots & \dots & x_{n - 4} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - 1 & \dots & \dots & x_{n - 5} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & - 1 & x_{1} \end{matrix}] .$

Числа Стірлінга та Белла

Значення поліномів Белла B_n,k (x₁, x₂, ...) для набору факторіалів дорівнює числу Стірлінга першого роду (без знаку):

B_{n, k} (0!, 1!, \dots, (n - k)!) = c (n, k) = | s (n, k) | = [\binom{n}{k}] .

Поліноми Белла B_{n, k} (x₁, x₂, ...) від набору одиниць дорівнює числам Стірлінга другого роду :

B_{n, k} (1, 1, \dots, 1) = S (n, k) = {\binom{n}{k}} .

Сума цих значень дає значення повного полінома Белла від набору одиниць:

B_{n} (1, 1, \dots, 1) = \sum_{k = 1}^{n} B_{n, k} (1, 1, \dots, 1) = \sum_{k = 1}^{n} {\binom{n}{k}},

що є n-м числом Белла.

Зворотні співвідношення

Якщо ми визначимо

x_{n} = \sum_{k = 1}^{n} (- 1)^{k - 1} (k - 1)! B_{n, k} (y_{1}, \dots, y_{n - k + 1}) .

то ми маємо таке зворотне співвідношення

(x ♢ y)_{n} = \sum_{j = 1}^{n - 1} (\binom{n}{j}) x_{j} y_{n - j} .

Поліноми Тушара

Поліноми Тушара $T_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} {\binom{n}{k}} \cdot x^{k}$ може бути виражена як значення повного многочлена Белла від аргументів, що всі дорівнюють х:

T_{n} (x) = B_{n} (x, x, \dots, x) .

Тотожність згортки

Для послідовностей x _n, y _n, n = 1, 2, ..., визначте згортку по:

(x ♢ y)_{n} = \sum_{j = 1}^{n - 1} (\binom{n}{j}) x_{j} y_{n - j} .

Межі підсумовування — 1 і n — 1, а не 0 і n.

Дозволяти $x_{n}^{k ♢}$ — n-й член послідовності

\underset{k factors}{\underset{⏟}{x ♢ \dots ♢ x}} .

Тоді ^[1]

B_{n, k} (x_{1}, \dots, x_{n - k + 1}) = \frac{x_{n}^{k ♢}}{k!} .

Наприклад, давайте обчислити $B_{4, 3} (x_{1}, x_{2})$ . Ми маємо

$x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, \dots)$

x ♢ x = (0, 2 x_{1}^{2}, 6 x_{1} x_{2} 8 x_{1} x_{3} + 6 x_{2}^{2} \dots)

x ♢ x ♢ x = (0, 0, 6 x_{1}^{3} 36 x_{1}^{2} x_{2} \dots)

і, таким чином,

$B_{4, 3} (x_{1}, x_{2}) = \frac{(x ♢ x ♢ x)_{4}}{3!} = 6 x_{1}^{2} x_{2} .$

Інші тотожности

$B_{n, k} (1!, 2!, \dots, (n - k + 1)!) = (\binom{n - 1}{k - 1}) \frac{n!}{k!} = L (n, k)$ що надає число Лаха.
$B_{n, k} (1, 2, 3, \dots, n - k + 1) = (\binom{n}{k}) k^{n - k}$ що повертає ідемпотентне число.
Повний многочлен Белла задовольняє відношення типу двочлена:
$B_{n} (x_{1} + y_{1}, \dots, x_{n} + y_{n}) = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) B_{n - i} (x_{1}, \dots, x_{n - i}) B_{i} (y_{1}, \dots, y_{i}) .$

$B_{n, k} (\frac{x_{q + 1}}{(\binom{q + 1}{q})}, \frac{x_{q + 2}}{(\binom{q + 2}{q})}, \dots) = \frac{n! (q!)^{k}}{(n + q k)!} B_{n + q k, k} (\dots, 0, 0, x_{q + 1}, x_{q + 2}, \dots)$

Це виправляє опущення фактора $(q!)^{k}$ у книзі КонтаШаблон:Sfn.

Коли $1 \leq a < n$ ,

B_{n, n - a} (x_{1}, \dots, x_{a + 1}) = \sum_{j = a + 1}^{2 a} \frac{j!}{a!} (\binom{n}{j}) (x_{1})^{n - j} B_{a, j - a} (\frac{x_{2}}{2}, \frac{x_{3}}{3}, \dots, \frac{x_{2 (a + 1) - j}}{2 (a + 1) - j}) .

Особливі випадки часткових многочленів Белла:

\begin{matrix} B_{n, 1} (x_{1}, \dots, x_{n}) = & x_{n} \\ [8 p t] B_{n, 2} (x_{1}, \dots, x_{n - 1}) = & \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{n - 1} (\binom{n}{k}) x_{k} x_{n - k} \\ [8 p t] B_{n, n} (x_{1}) = & (x_{1})^{n} \\ [8 p t] B_{n, n - 1} (x_{1}, x_{2}) = & (\binom{n}{2}) (x_{1})^{n - 2} x_{2} \\ [8 p t] B_{n, n - 2} (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = & (\binom{n}{3}) (x_{1})^{n - 3} x_{3} + 3 (\binom{n}{4}) (x_{1})^{n - 4} (x_{2})^{2} \\ [8 p t] B_{n, n - 3} (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = & (\binom{n}{4}) (x_{1})^{n - 4} x_{4} + 10 (\binom{n}{5}) (x_{1})^{n - 5} x_{2} x_{3} + 15 (\binom{n}{6}) (x_{1})^{n - 6} (x_{2})^{3} \\ [8 p t] B_{n, n - 4} (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}) = & (\binom{n}{5}) (x_{1})^{n - 5} x_{5} + 5 (\binom{n}{6}) (x_{1})^{n - 6} [3 x_{2} x_{4} + 2 (x_{3})^{2}] + 105 (\binom{n}{7}) (x_{1})^{n - 7} (x_{2})^{2} x_{3} \\ + 105 (\binom{n}{8}) (x_{1})^{n - 8} (x_{2})^{4} . \end{matrix}

Приклади

Перші декілька повних многочленів Белла:

\begin{matrix} B_{0} = & 1, \\ B_{1} (x_{1}) = & x_{1}, \\ B_{2} (x_{1}, x_{2}) = & x_{1}^{2} + x_{2}, \\ B_{3} (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = & x_{1}^{3} + 3 x_{1} x_{2} + x_{3}, \\ B_{4} (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = & x_{1}^{4} + 6 x_{1}^{2} x_{2} + 4 x_{1} x_{3} + 3 x_{2}^{2} + x_{4}, \\ B_{5} (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}) = & x_{1}^{5} + 10 x_{2} x_{1}^{3} + 15 x_{2}^{2} x_{1} + 10 x_{3} x_{1}^{2} + 10 x_{3} x_{2} + 5 x_{4} x_{1} + x_{5} \\ B_{6} (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}) = & x_{1}^{6} + 15 x_{2} x_{1}^{4} + 20 x_{3} x_{1}^{3} + 45 x_{2}^{2} x_{1}^{2} + 15 x_{2}^{3} + 60 x_{3} x_{2} x_{1} \\ + 15 x_{4} x_{1}^{2} + 10 x_{3}^{2} + 15 x_{4} x_{2} + 6 x_{5} x_{1} + x_{6}, \\ B_{7} (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}, x_{7}) = & x_{1}^{7} + 21 x_{1}^{5} x_{2} + 35 x_{1}^{4} x_{3} + 105 x_{1}^{3} x_{2}^{2} + 35 x_{1}^{3} x_{4} \\ + 210 x_{1}^{2} x_{2} x_{3} + 105 x_{1} x_{2}^{3} + 21 x_{1}^{2} x_{5} + 105 x_{1} x_{2} x_{4} \\ + 70 x_{1} x_{3}^{2} + 105 x_{2}^{2} x_{3} + 7 x_{1} x_{6} + 21 x_{2} x_{5} + 35 x_{3} x_{4} + x_{7} . \end{matrix}

Застосування

Формула Фаа ді Бруно може бути викладена з точки зору поліномів Белла наступним чином:

\frac{d^{n}}{d x^{n}} f (g (x)) = \sum_{k = 1}^{n} f^{(k)} (g (x)) B_{n, k} (g^{'} (x), g^{″} (x), \dots, g^{(n - k + 1)} (x)) .

Аналогічно, версію формули Фаа ді Бруно можна подати з використанням многочленів Белла наступним чином. Припустимо

$f (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n!} x^{n} and g (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{b_{n}}{n!} x^{n} .$

Тоді

$g (f (x)) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\sum_{k = 1}^{n} b_{k} B_{n, k} (a_{1}, \dots, a_{n - k + 1})}{n!} x^{n} .$

Зокрема, повні поліноми Белла фігурують у розкладі експоненти формальний степеневий ряд:

$\exp (\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{a_{i}}{i!} x^{i}) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{B_{n} (a_{1}, \dots, a_{n})}{n!} x^{n},$

що також представляє генератису для експоненти повних многочленів Белла на фіксованій послідовності аргументів $a_{1}, a_{2}, \dots$ .

Обернення ряду

Нехай дві функції f і g виражаються у формальних рядах потужностей як

f (w) = \sum_{k = 0}^{\infty} f_{k} \frac{w^{k}}{k!}, and g (z) = \sum_{k = 0}^{\infty} g_{k} \frac{z^{k}}{k!},

такий, що g — композиційна інверсія f, визначена g(f (w)) = w або f (g(z)) = z. Якщо f₀ = 0 і f₁ ≠ 0, то явна форма коефіцієнтів оберненої може бути задана в терміні многочленів Белла якШаблон:Sfn

Z (S_{n}) = \frac{B_{n} (0! a_{1}, 1! a_{2}, \dots, (n - 1)! a_{n})}{n!} .

з ${\hat{f}}_{k} = \frac{f_{k + 1}}{(k + 1) f_{1}},$ і $n^{\bar{k}} = n (n + 1) \dots (n + k - 1)$ — це фактор, що зростає, і $g_{1} = \frac{1}{f_{1}} .$

Симетричні многочлени

Елементарний симетричний многочлен $e_{n}$ і степеневий многочлен суми потужності $p_{n}$ можуть бути пов'язані один з одним за допомогою поліномів Белла як:

$\begin{matrix} e_{n} & = \frac{(- 1)^{n}}{n!} B_{n} (p_{1}, - 1! p_{2}, 2! p_{3}, - 3! p_{4}, \dots, (- 1)^{n - 1} (n - 1)! p_{n}), \\ p_{n} & = \frac{(- 1)^{n - 1}}{(n - 1)!} \sum_{k = 1}^{n} (- 1)^{k - 1} (k - 1)! B_{n, k} (e_{1}, 2! e_{2}, 3! e_{3}, \dots, (n - k + 1)! e_{n - k + 1}) = (- 1)^{n} n \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} {\hat{B}}_{n, k} (- e_{1}, \dots, - e_{n - k + 1}) . \end{matrix}$

Ці формули дозволяють виразити коефіцієнти монічних поліноми через поліноми Белла з нульовими аргументами. Наприклад, разом із теоремою Кейлі — Гамільтона вони призводять до вираження детермінантної n × n квадратної матриці A через сліди її потужностей:

\det (A) = \frac{(- 1)^{n}}{n!} B_{n} (s_{1}, s_{2}, \dots, s_{n}), where s_{k} = (- 1)^{k - 1} (k - 1)! tr (A^{k}) .

Індекс циклу симетричних груп

Індекс циклу симетричної групи $S_{n}$ можна виразити через повні многочлени Белла так:

Z (S_{n}) = \frac{B_{n} (0! a_{1}, 1! a_{2}, \dots, (n - 1)! a_{n})}{n!} .

Поліноми Ерміта

Поліноми Ерміта імовірністів можна виразити через поліноми Белла як

{He}_{n} (x) = B_{n} (x, - 1, 0, \dots, 0),

де x_i = 0 для всіх i > 2; що передбачає комбінаторну інтерпретацію коефіцієнтів поліномів Ерміта. Це можна побачити, порівнюючи генератрису поліномів Ерміта

\exp (x t - \frac{t^{2}}{2}) = \sum_{n = 0}^{\infty} {He}_{n} (x) \frac{t^{n}}{n!}

з поліномами Белла.

Програмне забезпечення

Поліноми Белла реалізовані в:

Mathematica як BellY Шаблон:Webarchive
Maple як IncompleteBellB Шаблон:Webarchive
Шаблон:Iw як bell_polynomial Шаблон:Webarchive

Дивитися також

Примітки

Шаблон:Reflist

Список літератури

↑ Шаблон:Cite journal

[1] Шаблон:Cite journal

[1]

Поліноми Белла

Зміст