Багатогранник Дюрера

Зрізана трикутна трапеція моноліт Дюрера
Тип	Укорочена трапеція
Обличчя	6 п'ятикутників, 2 трикутники
Краї	18
Вершини	12
Група симетрії	D 3d, [2 +, 6], (2*3)
Подвійний багатогранник	Гіроелонгована трикутна біпіраміда
Властивості	опуклий

Багатогранник Дюрера — багатогранник, зображений на гравюрі Меланхолія художника Альбрехта Дюрера. У геометрії зрі́зана трикутна трапеція є однією з серії зрі́заних багатогранних трапецій. Вона має 6 п'ятикутників та 2 трикутні грані.

Геометрія

Цей багатогранник більше схожий на "якийсь момент" проходження гіперкубу з 4-го виміру через площину 3-го виміру. Якщо додати, що художник був математиком, то ймовірно він бачив цю 4-вимірну фігуру в своїй уяві в "проходженні".

Так, в 3-вимірному просторі ця фігура може бути побудована шляхом обрізання двох протилежних вершин куба, трикутного трапеції (опуклий багатогранник із шістьма сторонами ромба, утвореного розтягуванням або скороченням куба вздовж однієї з його довгих діагоналей), або з ромбоедра чи паралелепіпеда (менш симетричні багатогранники, які все ще мають таку ж комбінаторну будову, як куб). У випадку куба або тригональної трапеції, де дві зрізані вершини — це ті, що розташовуються на осях, що розтягуються, отримана форма має триразову обертальну симетрію.

Моноліт Дюрера

Меланхолія (1514 рік)

Цей багатогранник іноді називають монолітом Дюрера, через його появу в гравюрі Меланхолія 1514 року. Граф, утворений його ребрами і вершинами, називається графом Дюрера.

Форма моноліту, зображеного Дюрером, є предметом наукових дискусій, які точаться навколо того, яке геометричне тіло було зрізане: куб, чи ромбоедр.

Більшість вчених більше схиляються до другого варіанту, але існують ще декілька припущень щодо цього:

• Ріхтер стверджує, що ромби ромбоедра, з яких складається ця форма, мають 5: 6 як співвідношення між їх короткими та довгими діагоналями, від яких гострі кути ромбів становитимуть приблизно 80 °.
• Шредер (1980) та Лінч (1982) натомість роблять висновок, що відношення дорівнює √3: 2 і що кут приблизно 82 °Шаблон:Citation Як цитує Шаблон:Harvtxt.
• МакГілларі вимірює особливості креслення і виявляє, що кут приблизно 79 °. Він і Вольф фон Енгельгардт (див. Хідеко, 2009) стверджують, що цей вибір кута походить від його фізичного виникнення в кристалах кальциту.
• Шрайбер стверджує, що спираючись на праці Дюрера, можна стверджувати, що всі вершини моноліта Дюрера лежать на спільній сфері, а також кути ромба дорівнюють 72 °. Хідеко (2009) перераховує декількох інших науковців, які також віддають перевагу теорії 72 °, починаючи з Павла Гродзінського в 1955 році. Він стверджує, що ця теорія мотивована не лише аналізом малюнка, а насамперед естетичними принципами, що стосуються правильних п'ятикутників і золотого перетину.
• Вейцлер аналізує ескіз Дюрера 1510 р. того ж моноліта. Він підтверджує гіпотезу Шрайбера про те, що форма має окружність, але з кутами ромба приблизно 79,5 °.
• Хідеко стверджує, що форма призначена для відображення знаменитої геометричної проблеми подвоєння куба, про яку Дюрер також писав у 1525 р. Тому він робить висновок, що (перш ніж відрізати кути) форма є кубом розтягнутим по його довгій діагоналі. Більш конкретно, він стверджує, що Дюрер намалював фактичний куб з довгою діагоналлю, паралельною перспективі площини, а потім збільшив свій малюнок деяким фактором у напрямку довгої діагоналі; результат був би таким самим, як якщо б він намалював витягнуте тверде тіло. Він збільшує коефіцієнт збільшення, що має значення для подвоєння куба 2^1/3 ≈ 1.253, але Хідеко отримує інший коефіцієнт збільшення, який краще відповідає малюнку, 1.277, більш складним чином.
• Футамура, Франц і Краннел класифікують запропоновані рішення цієї проблеми за двома параметрами: гострим кутом та перехресним співвідношенням. Їх оцінка перехресного співвідношення близька до рівня МакГілларі і має числове значення, близьке до золотого перетину. Виходячи з цього, вони вважають, що гострий кут $2\arctan (\phi /2)\approx 78^{\circ }$ і що перехресне співвідношення точно $\phi$.

Див. також

• Скошений тетраедр, іншої форми, утворений обрізанням підмножини вершин куба

Джерела

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation. Як цитує Шаблон:Harvtxt.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation Як цитує Шаблон:Harvtxt.
• Шаблон:Citation Шаблон:Citation . Як цитує Шаблон:Harvtxt .
• Шаблон:Citation . Як цитує Шаблон:Harvtxt .
• Шаблон:Citation одна Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.

Посилання

• Шаблон:MathWorld
• How to build Dürer's Polyhedron — by DUPLICON (in German) Шаблон:Webarchive
• Open-source 3D models of Dürer's Solid