Теорема Зейферта — Ван Кампена

Теорема Зейферта — ван Кампена виражає фундаментальну групу топологічного простору через фундаментальні групи двох відкритих підмножин, що покривають простір.

Названа на честь Герберта Зейферта і Егберта ван Кампена.

Формулювання

Для двох підмножин

Найчастіше формулювання теореми дається для покриття простору двома відкритими множинами. Нехай $X$ — топологічний простір, і $V,U\subset X$ — дві лінійно зв'язні відкриті множини для яких перетин $W=V\cap U$ також є лінійно зв'язною множиною і $X=V\cup U$. Зафіксуємо точку $p\in W$. Включення

$W\hookrightarrow U,W\hookrightarrow V,U\hookrightarrow X,V\hookrightarrow X$

породжують гомоморфізми відповідних фундаментальних груп

$I:{\pi }_1(W,p)\to {\pi }_1(U,p)$, $J:{\pi }_1(W,p)\to {\pi }_1(V,p)$, ${\pi }_1(U,p)\to {\pi }_1(X,p)$ і ${\pi }_1(V,p)\to {\pi }_1(X,p)$.

Згідно теореми Зейферта — ван Кампена, ці чотири гомоморфізми задають розшарований кодобуток у категорії груп, тобто

${\pi }_1(X,p)={\pi }_1(U,p){*}_{{\pi }_1(W,p)}{\pi }_1(V,p).$

Іншими словами фундаментальна група ${\pi }_1(X,p)$ є вільним добутком з амальгамацією фундаментальних груп ${\pi }_1(U,p),{\pi }_1(V,p)$ щодо відображень $I,J.$

Зауваження

• Якщо дані задання груп ${\pi }_1(U,p)$ і ${\pi }_1(V,p)$

  $\begin{array}{cc}{\pi }_1(U,p)& =⟨u_1,\cdots ,u_k\mid {\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_l⟩\\ {\pi }_1(V,p)& =⟨v_1,\cdots ,v_m\mid {\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n⟩\\ \end{array}$

і $w_1,\cdots ,w_s$ — твірні групи ${\pi }_1(W,p)$, то

${\pi }_1(X,p)=⟨u_1,\cdots ,u_k,v_1,\cdots ,v_m|{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_l,{\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n,I(w_1)J(w_1{)}^{-1},\cdots ,I(w_p)J(w_p{)}^{-1}⟩.$

Для довільної кількості підмножин

Більш загально нехай $(U_{\alpha }{)}_{\alpha \in A}$ є відкритим покриттям простору $X$ і всі $U_{\alpha }$ є лінійно зв'язними як і всі можливі їх попарні перетини $U_{\alpha }\cap U_{\beta }$; нехай також існує точка $p,$ що належить усім множинам $U_{\alpha }.$

Кожне включення $U_{\alpha }\hookrightarrow X$ породжує гомоморфізм фундаментальних груп $H_{\alpha }:{\pi }_1(U_{\alpha },p)\to {\pi }_1(X,p)$. Ці гомоморфізми можна продовжити на вільний добуток ${*}_{\alpha }{\pi }_1(U_{\alpha },p)$ фундаментальних груп одержавши таким чином гомоморфізм $H:{*}_{\alpha }{\pi }_1(U_{\alpha },p)\to {\pi }_1(X,p).$ Для цього достатньо задати значення гомоморфізму для всіх генераторів вільного добутку. Але кожен такий генератор є елементом деякої групи ${\pi }_1(U_{\alpha },p)$ і його образ при гомоморфізмі $H$ за означенням є рівним його образу для відповідного гомоморфізму $H_{\alpha }.$

Згідно теореми Зейферта — ван Кампена гомоморфізм $H$ із вільного добутку ${*}_{\alpha }{\pi }_1(U_{\alpha },p)$ фундаментальних груп просторів $U_{\alpha }$ у фундаментальну групу ${\pi }_1(X,p)$ є сюр'єктивним.

Також кожне включення $U_{\alpha }\cap U_{\beta }\hookrightarrow U_{\alpha }$ породжують гомоморфізми фундаментальних груп $H_{\alpha \beta }:{\pi }_1(U_{\alpha }\cap U_{\beta },p)\to {\pi }_1(U_{\alpha },p)$. Оскільки для гомоморфізмів фундаментальних груп $H_{\alpha }\circ H_{\alpha \beta }=H_{\beta }\circ H_{\beta \alpha }$ то для будь-якого $g\in {\pi }_1(U_{\alpha }\cap U_{\beta },p)$ також $H_{\alpha }\circ H_{\alpha \beta }(g)=H_{\beta }\circ H_{\beta \alpha }(g)$ і за означеннями $H\circ H_{\alpha \beta }(g)=H\circ H_{\beta \alpha }(g).$ Якщо розглядати $H_{\alpha \beta }(g),H_{\beta \alpha }(g)$ як елементи вільного добутку ${*}_{\alpha }{\pi }_1(U_{\alpha },p)$ то звідси також випливає, що елементи $H_{\alpha \beta }(g)\cdot (H_{\beta \alpha }{)}^{-1}(g)$ для всіх можливих значень індексів $\alpha ,\beta$ і елементів $g\in {\pi }_1(U_{\alpha }\cap U_{\beta },p)$ належать ядру гомоморфізму $H$.

У багатьох важливих випадках ядро гомоморфізму $H$ породжується елементами виду $H_{\alpha \beta }(g)\cdot (H_{\beta \alpha }{)}^{-1}(g)$. Однією з найпростіших і найпоширеніших умов для цього є якщо не лише попарні перетини але і перетини довільних трьох множин $U_{\alpha }\cap U_{\beta }\cap U_{\gamma }$ є лінійно зв'язними.

Друга частина теореми Зейферта — ван Кампена стверджує, що у цьому випадку ядро гомоморфізму $H$ породжується елементами виду $H_{\alpha \beta }(g)\cdot (H_{\beta \alpha }{)}^{-1}(g)$. Іншими словами фундаментальна група ${\pi }_1(X,p)$ тоді є рівною вільному добутку з амальгамацією фундаментальних груп ${\pi }_1(U_{\alpha },p)$ щодо гомоморфізмів $H_{\alpha \beta }.$

Доведення

Сюр'єктивність

Нехай для двох кривих $f_1$ і $f_2$ для яких кінцева точка першої є рівною початковій точці другої (зокрема якщо обидві криві є петлями із початком у одній точці) $f_1\cdot f_2$ позначає добуток (послідовний обхід кривих), $[f_1]$ — клас гомотопій кривої із фіксованими кінцевими точками, а ${\overline{f}}_1$ — обернену криву.

Нехай $g:[0,1]\to X,g(0)=g(1)=p$ — петля у просторі $X$ із початком у точці $p$ і $[g]\in {\pi }_1(X,p)$ — її клас гомотопій який є елементом фундаментальної групи. Сюр'єктивність у твердженні теореми є еквівалентною існуванню таких петель $g_1,\dots ,g_n,$ що образ кожної $g_i$ повністю належить якійсь із відкритих множин $U_{\alpha }$ і $[g]=[g_1]\cdot [g_2]\cdot \dots \cdot [g_n].$

Прообрази $g^{-1}(U_{\alpha })$ відкритих множин $U_{\alpha }$ при відображенні $g$ утворюють відкрите покриття одиничного відрізка. Кожна точка $x\in [0,1]$ належить деякій із цих відкритих множин разом із деяким своїм замкнутим околом $[x-{\epsilon }_x,x+{\epsilon }_x]$ (тобто $g([x-{\epsilon }_x,x+{\epsilon }_x])\subset U_{\alpha }$ для деякої множини $U_{\alpha }$). Відкриті відрізки $(x-{\epsilon }_x,x+{\epsilon }_x)$ утворюють відкрите покриття одиничного відрізка і з компактності випливає існування скінченної кількості таких відрізків, що утворюють відкрите покриття. Тоді скінченна кількість кінцевих точок цих відрізків розбиває $[0,1]$ на скінченну кількість замкнутих інтервалів образ кожного з яких при відображенні $g$ належить якійсь із множин $U_{\alpha }$. Два сусідні інтервали можуть при цьому відображатись у одну множину і їх можна об'єднати хоч це і не має значення для цього доведення. Важливим є саме існування точок $0=s_0<s_1<s_2<\dots <s_n=1$ для яких $g([s_i,s_{i+1}])\subset U_i$ для деяких множин $U_i$ (загалом різних для різних інтервалів).

Позначимо тепер $f_i$ криву яка є рівною репараметризації кривої $g([s_{i-1},s_i])$ на одиничний відрізок. Тоді $g$ є гомотопною добутку $f_1\cdot \dots \cdot f_n$ і образ кожної $f_i$ належить деякій $U_i$. Згідно із властивостями гомотопії кожна крива $f_i$ є гомотопною добутку $f_i\cdot e_i$ де $e_i$ позначає сталу криву із єдиним значенням $x_i=f_i(1)=g(s_i)$. За побудовою $x_i$ належить двом множинам $U_i$ і $U_{i+1}$. Згідно умови множина $U_i\cap U_{i+1}$ є лінійно зв'язною і містить точку $p$ тому у $U_i\cap U_{i+1}$ існує крива ${\gamma }_i$, що з'єднує $p$ і $x_i$ . Згідно властивостей гомотопій кривих тоді стала крива $e_i$ є гомотопною добутку ${\overline{\gamma }}_i\cdot {\gamma }_i$ і з транзитивності гомотопії $f_i$ є гомотопною $f_i\cdot {\overline{\gamma }}_i\cdot {\gamma }_i.$ Оскільки добутки гомотопних кривих є гомотопними то $f_1\cdot \dots \cdot f_n$ і відповідно $g$ є гомотопним добутку $f_1\cdot {\overline{\gamma }}_1\cdot {\gamma }_1\cdot f_2\cdot {\overline{\gamma }}_2\cdot {\gamma }_2\cdot \dots \cdot {\overline{\gamma }}_{n-1}\cdot {\gamma }_{n-1}\cdot f_n.$Нехай тепер $g_1=f_1\cdot {\overline{\gamma }}_1,g_n={\gamma }_{n-1}\cdot f_n$ і $g_i={\gamma }_{i-1}\cdot f_i\cdot {\overline{\gamma }}_i$ для $1<i<n$. Тоді із асоціативності добутків кривих щодо гомотопічної еквівалентності $g$ є гомотопною $g_1\cdot g_2\cdot \dots \cdot g_n.$ Оскільки всі $g_i$ є петлями із початком у точці $p$ то кожен клас гомотопії $[g_i]$ є елементом фундаментальної групи ${\pi }_1(X,p)$ і також $[g]=[g_1\cdot g_2\cdot \dots \cdot g_n]=[g_1]\cdot [g_2]\cdot \dots \cdot [g_n].$ Оскільки образ кожної петлі $g_i$ міститься у множині $U_i$ (адже за побудовою $f_i$ і ${\gamma }_i$ з ${\overline{\gamma }}_{i-1}$ належать $U_i$) це завершує доведення сюр'єктивності.

Твердження про вільний добуток із амальгамаціями

Нехай тепер додатково виконується умова лінійної зв'язності усіх перетинів трьох множин $U_{\alpha }\cap U_{\beta }\cap U_{\gamma }$, $[g]\in {\pi }_1(X,p)$ є елементом фундаментальної групи і $[g]=[g_1]\cdot [g_2]\cdot \dots \cdot [g_n]$ де образ кожної $g_i$ повністю належить якійсь із відкритих множин $U_i$. Відповідно у цьому випадку $[g_i]$ можна розглядати як образ елемента відповідної ${\pi }_1(U_i,p)$ при гомоморфізмі $H$, а сам добуток як запис (можливо незведений) елемента вільного добутку груп ${\pi }_1(U_{\alpha },p)$.

Розглянемо тепер загальну множину формальних добутків виду $[g_1]\cdot [g_2]\cdot \dots \cdot [g_n]$ де кожен $[g_i]$ є елементом деякої множини ${\pi }_1(U_i,p)$.

• Якщо для двох сусідніх елементів $g_i,g_{i+1}$ їх образи належать одній множині (тобто $U_i=U_{i+1}$ ) то очевидно $[g_i\cdot g_{i+1}]=[g_i]\cdot [g_{i+1}]$ як елементи ${\pi }_1(U_i,p)$ і якщо замінити $[g_1]\cdot \dots \cdot [g_{i-1}]\cdot [g_i]\cdot [g_{i+1}]\cdot [g_{i+2}]\cdot \dots \cdot [g_n]$ на $[g_1]\cdot \dots \cdot [g_{i-1}]\cdot [g_i\cdot g_{i+1}]\cdot [g_{i+2}]\cdot \dots \cdot [g_n]$ то одержиться лише інший запис елемента вільного добутку груп ${\pi }_1(U_{\alpha },p)$.

• Також якщо образ $g_i$ належить перетину $U_i\cap U_{\alpha }$ деяких двох множин із умови теореми то можна розглядати $[g_i]$ як елемент ${\pi }_1(U_i,p)$ і ${\pi }_1(U_{\alpha },p)$. При такій заміні одержується інший елемент вільного добутку груп (адже $[g_i]$ як елемент ${\pi }_1(U_i,p)$ і елемент ${\pi }_1(U_{\alpha },p)$ є елементами різних груп і відповідно різними елементами вільного добутку) але один елемент вільного добутку із амальгамаціями адже якщо розглядати $[g_i]$ у групі ${\pi }_1(U_i\cap U_{\alpha },p)$ то його образи при гомоморфізмах $H_{i\alpha }$ і $H_{\alpha i}$ будуть елементами $[g_i]$ у групах ${\pi }_1(U_i,p)$ і ${\pi }_1(U_{\alpha },p)$ відповідно. Оскільки згідно з означенням вільного добутку із амальгамаціями елемент $H_{i\alpha }([g_i])\cdot (H_{\alpha i}{)}^{-1}([g_i])$ у такому добутку є рівний одиничному елементу, то заміна у $[g_1]\cdot [g_2]\cdot \dots \cdot [g_n]$ елемента $[g_i]$ з групи ${\pi }_1(U_i,p)$ на $[g_i]$ у ${\pi }_1(U_{\alpha },p)$ не змінює елемент у вільному добутку із амальгамаціями.

Нехай тепер вираз виду $[g_1]\cdot [g_2]\cdot \dots \cdot [g_n]$ де кожен $[g_i]$ є елементом деякої групи ${\pi }_1(U_i,p)$ одержується із виразу $[h_1]\cdot [h_2]\cdot \dots \cdot [h_m]$ де кожен $[h_j]$ є елементом деякої групи ${\pi }_1({U_j}^{\prime },p)$ за допомогою скінченної послідовності замін із двох попередніх параграфів або їх обернених. Тоді $[g_1]\cdot [g_2]\cdot \dots \cdot [g_n]$ і $[h_1]\cdot [h_2]\cdot \dots \cdot [h_m]$ називаються еквівалентними. Із попереднього еквівалентні послідовності визначають єдиний елемент у вільному добутку із амальгамаціями. Також якщо $[g_1]\cdot [g_2]\cdot \dots \cdot [g_n]$ і $[h_1]\cdot [h_2]\cdot \dots \cdot [h_m]$ є еквівалентними і всі класи гомотопії розглядати у ${\pi }_1(X,p)$ (за допомогою гомоморфізму $H$) то дві послідовності задають один елемент у ${\pi }_1(X,p)$ адже перший тип заміни не змінює елемента у ${\pi }_1(X,p)$ оскільки $[g_i\cdot g_{i+1}]=[g_i]\cdot [g_{i+1}]$ також і якщо всі криві розглядати у $X$, а друга заміна не змінює елемента у ${\pi }_1(X,p)$ оскільки $H_i\circ H_{i\alpha }([g_i])=H_{\alpha }\circ H_{\alpha i}([g_i]).$

Оскільки дві еквівалентні послідовності визначають один елемент вільного добутку із амальгамаціями і один елемент групи ${\pi }_1(X,p)$ то залишається довести, що якщо $[g]=[g_1]\cdot [g_2]\cdot \dots \cdot [g_n]=[h_1]\cdot [h_2]\cdot \dots \cdot [h_m]$, де добутки задовольняють вказані вище умови, то відповідні послідовності є еквівалентними.

Згідно умови у цьому випадку добутки петель $g_1\cdot g_2\cdot \dots \cdot g_n$ і $h_1\cdot h_2\cdot \dots \cdot h_m$ (для якихось репараметризацій) є гомотопними у $X$ за допомогою деякої гомотопії $F:[0,1]\times [0,1]\to X$.

Із компактності $[0,1]\times [0,1]$ подібно як у доведенні сюр'єктивності можна знайти послідовності $0=s_0<s_1<s_2<\dots <s_k=1$і $0=t_0<t_1<t_2<\dots <t_l=1$, такі, що образи усіх прямокутників $[s_i,s_{i+1}]\times [t_j,t_{j+1}]$ (і навіть трішки більших прямокутників, що містять вказані у середині) при відображенні належать кожен якійсь відкритій множині з умови. Нехай $F([s_i,s_{i+1}]\times [t_j,t_{j+1}])\to U_{ij}.$ Додатково у $s$-послідовність можна ввести всі точки, що розбивають криві у параметризаціях обох добутків кривих, що розглядаються.

Дані послідовності розбивають квадрат $[0,1]\times [0,1]$ на kl прямокутників виду $R_{ij}=[s_i,s_{i+1}]\times [t_j,t_{j+1}]$. Посунемо тепер вертикальні лінії у рядках крім першого і останнього так, щоб кожна вершина прямокутника $R_{ij}$ належала не більше, ніж трьом прямокутникам, як на малюнку і пронумеруємо їх у такий же спосіб. Для кожної кривої $\gamma$ у квадраті $[0,1]\times [0,1]$ із лівої сторону до правої образ $F(\gamma )$ є петлею у $X$ із початком у точці $p.$ Нехай ${\gamma }_r$ позначає ламану лінію, що відділяє перші r від інших. На малюнку виділено лінію ${\gamma }_6$, нижня сторона квадрата є ${\gamma }_0$, а верхня — ${\gamma }_{kl}.$

Із побудови кожна вершина $x$ прямокутників належить щонайбільше трьом прямокутникам. При відображенні $F$ образи цих прямокутників належать щонайбільше трьом відкритим множинам $U_{ij}.$ Згідно умови перетин цих множин є лінійно зв'язним, тому існує крива $g_x$, що з'єднує точку $p$ із $F(x)$ і належить цьому перетину. Долучивши до кожної такої вершини $F(x)\ne p$ петлю $g_x\circ {\overline{g}}_x$ як у доведенні сюр'єктивності можна одержати петлю гомотопну $F({\gamma }_r)$, що є добутком петель із образами у $U_{\alpha }$. А саме, ${\gamma }_r$ є набором вершин та відрізків, що їх сполучають. Кожному відрізку $d$, що сполучає вершини $x$ і $y$ відповідає петля ${\overline{g}}_x\cdot F(d)\cdot g_y$ у $X$.

Образ цієї петлі може належати двом різним відкритим підмножинам $U_{\alpha }$ і $U_{\beta }$ і можна розглядати клас гомотопії ${\overline{g}}_x\cdot F(d)\cdot g_y$ у $U_{\alpha }$ і $U_{\beta }$. Вибравши один із цих варіантів для кожної петлі одержується добуток $F({\gamma }_r)=[f_1]\cdot [f_2]\cdot \dots \cdot [f_N]$. Різним виборам множин для кожної петлі відповідають еквівалентні добутки. Таким чином для кожної ламаної ${\gamma }_r$ одержуються набори еквівалентних добутків у вільному добутку груп.

Далі можна перейти від деякого із еквівалентних добутків для ламаної ${\gamma }_r$ до еквівалентного добутку для ${\gamma }_{r+1}.$ Образи всіх сторін прямокутника $R_{r+1}$ при відображенні $F$ належать деякій одній множині $U_{\alpha }$. Цій множині також належать всі криві $g_x$ і ${\overline{g}}_x$ для усіх вершин прямокутників на границі $R_{r+1}$. Ламані ${\gamma }_r$ і ${\gamma }_{r+1}$ відрізняються лише частинами на границі $R_{r+1}$. Перша ламана включає ліву і нижню сторони (лише нижню якщо $R_{r+1}$ є першим прямокутником у рядку), а друга верхню і праву (лише верхню, якщо $R_{r+1}$ є останнім прямокутником у рядку). Позначимо $x$ — ліву верхню вершину прямокутника $R_{r+1}$, $y$ — праву нижню, а $z_1,z_2$ — відповідно ліву нижню і праву верхню. Також за побудовою на верхній і нижній сторонах прямокутника можуть бути додатково ще одна чи дві вершини інших прямокутників.

Частина у добутку для ${\gamma }_r$, що відповідає відрізкам, які сполучають вершини на лівій і нижній сторонах $R_{r+1}$ має вид $[g_x\cdot F(d_{x{z}_1})\cdot {\overline{g}}_{z_1}]\cdot [g_{z_1}\cdot F(d_{z_1\cdot })\cdot {\overline{g}}_{\cdot }]\cdot \dots \cdot [g_{\cdot }\cdot F(d_{\cdot y})\cdot {\overline{g}}_y]$, де $d_{x{z}_1}$ позначає відрізки, що з'єднують відповідні вершини, трикрапка позначає можливі одну чи дві петлі для вершин на нижній стороні прямокутника і їх класи гомотопій, а крапки у нижніх індексах — загальні позначення точок для можливих різних варіантів вершин на нижній стороні прямокутника. Виберемо той добуток із класу еквівалентності де кожна із цих петель належить ${\pi }_1(U_{\alpha },p)$. Далі за означеннями цей добуток є еквівалентним $[g_x\cdot F(d_{x{z}_1})\cdot {\overline{g}}_{z_1}\cdot g_{z_1}\cdot F(d_{z_1\cdot })\cdot {\overline{g}}_{\cdot }\cdot \dots \cdot g_{\cdot }\cdot F(d_{\cdot y})\cdot {\overline{g}}_y]$ у ${\pi }_1(U_{\alpha },p)$. Цей останній елемент є еквівалентним $[g_x\cdot F(d_{x{z}_{1}y})\cdot {\overline{g}}_y]$, де $d_{x{z}_{1}y}$ позначає ламану із лівої сторони $R_{r+1}$, а потім його нижньої сторони. Оскільки $d_{x{z}_{1}y}$ є очевидно гомотопною $d_{x{z}_{2}y}$ у $R_{r+1}$, то $g_x\cdot F(d_{x{z}_{1}y})\cdot {\overline{g}}_y$ є гомотопною $g_x\cdot F(d_{x{z}_{2}y})\cdot {\overline{g}}_y$ у $U_{\alpha }$. Знову ж розглядаючи вершини на верхній і правій сторонах і діючи обернено до попереднього отримуємо, що $g_x\cdot F(d_{x{z}_{2}y})\cdot {\overline{g}}_y$ є гомотопною до замкнутої кривої із приєднаними петлями $g_z\circ {\overline{g}}_z$ для всіх проміжних вершин на верхній і правій сторонах. Далі цю петлю можна записати як добуток петель і таким чином одержати добуток елементів, що відповідає одному із еквівалентних типових добутків у ${\gamma }_{r+1}$ для верхньої і правої сторони $R_{r+1}$. Якщо $R_{r+1}$ є першим або останнім прямокутником у рядку, то цей процес треба трохи видозмінити, зокрема замість гомотопії між лівими і нижніми сторонами прямокутника і верхніми і правими із збереженнями початкових і кінцевих вершин потрібні неперервні деформації в одномі випадку нижньої сторони на верхню і праву сторони із рухом лівої вершини вздовж лівої сторони прямокутника, а в іншому випадку лівої і нижньої сторін на верхню із рухом нижньої правої вершини вздовж правої сторони прямокутника.

Таким чином всі добутки, що відповідають ${\gamma }_r$ є еквівалентними добуткам для ${\gamma }_{r+1}$. Звідси всі добутки для ${\gamma }_0$ є еквівалентними добуткам із ${\gamma }_{kl}.$

За означенням образ нижньої сторони квадрата $[0,1]\times [0,1]$ при відображенні $F$ є $g_1\cdot g_2\cdot \dots \cdot g_n$ із відповідною параметризацією. Окрім того точки, що відділяють різні $g_i$ є серед вершин на нижній стороні. Образ кожної $g_i$ належить деякій множині $U_{\alpha }$ і можна додатково вимагати щоб якщо вершина $x$ на нижній стороні належить області визначення $g_i$ у параметризації, то відповідна крива $g_x$, що з'єднує точку $p$ із $F(x)$ належала не лише відкритим множинам, що відповідають прямокутникам вершинами яких є $x$ але і множині $U_{\alpha }$. Тоді $[g_i]$ буде еквівалентним добутку елементів виду $[g_x\cdot F(d)\cdot {\overline{g}}_y]$ у ${\pi }_1(U_{\alpha },p)$, що відповідають послідовним вершинам у області значень для $g_i$ і відрізкам, що їх сполучають. А загалом $[g_1]\cdot [g_2]\cdot \dots \cdot [g_n]$ є еквівалентним побудованим вище еквівалентним добуткам для ${\gamma }_0$. Також точки, що відділяють різні $h_i$ є серед вершин на верхній стороні. Тому аналогічними аргументами із вибором кривих $g_x$ для вершин верхньої сторони одержується еквівалентність добутку $[h_1]\cdot [h_2]\cdot \dots \cdot [h_m]$ із типовим добутком для ${\gamma }_{kl}.$ Оскільки добутки для ${\gamma }_0$ є еквівалентними добуткам із ${\gamma }_{kl}$ то і добутки $[g_1]\cdot [g_2]\cdot \dots \cdot [g_n]$ і $[h_1]\cdot [h_2]\cdot \dots \cdot [h_m]$ є еквівалентними.

Наслідки

• Якщо перетин $W$ є однозв'язним, то

  ${\pi }_1(X,p)={\pi }_1(U,p)*{\pi }_1(V,p),$

тобто фундаментальна група $X$ є ізоморфною вільному добутку фундаментальних груп $U$ і $V$.

• Зокрема,

${\pi }_1(X_1\vee X_2)={\pi }_1(X_1)*{\pi }_1(X_2),$ для букета $X_1\vee X_2$ зв'язних і локально однозв'язних просторів $X_1$ і $X_2$.

• Простір є однозв'язним якщо для нього існує покриття двома однозв'язними відкритими множинами із зв'язним перетином.
  • Наприклад сферу $X=S^2$ можна покрити двома дисками $U=S^2\mathrm{\setminus }\{n\}$ і $V=S^2\mathrm{\setminus }\{s\}$, де $n$ і $s$ позначають відповідно північний і південний полюси. Перетин $W=V\cap U=S^2\mathrm{\setminus }\{n,s\}$ є зв'язною множиною і по теоремі Зейферта — ван Кампена фундаментальна група $W$ також є тривіальною.

Варіації і узагальнення

• Існує узагальнення теореми для фундаментальних групоїдів. Воно дозволяє розглядати випадок коли $W$ не є зв'язаною множиною.
• Послідовність Маєра — Вієторіса — аналогічна теорема для груп гомологій.

Див. також

• Вільний добуток
• Послідовність Маєра — Вієторіса
• Фундаментальна група
• Псевдоколо

Джерела

• Шаблон:Книга
• Seifert, H., Konstruction drei dimensionaler geschlossener Raume. Berichte Sachs. Akad. Leipzig, Math.-Phys. Kl. (83) (1931) 26–66.
• E. R. van Kampen. On the connection between the fundamental groups of some related spaces. American Journal of Mathematics, vol. 55 (1933), pp. 261—267.
• Шаблон:Rotman.An Introduction to the Theory of Groups