Смеш-добуток

У математиці, смеш-добутком (або ∧-добутком) двох просторів із виділеними точками $(X,x_0)$ і $(Y,y_0)$ називається фактор-простір добутку просторів $X\times Y$ щодо відношення еквівалентності $(x,y_0)\sim (x_0,y)$ для всіх $x\in X$ і $y\in Y$. Смеш-добуток є простором із виділеною точкою, якою є клас еквівалентності $(x_0,y_0)$. Смеш-добуток зазвичай позначається $X\wedge Y$ або $X$⨳$Y$. Смеш-добуток залежить від вибору виділених точок (якщо $X$ і $Y$ не є однорідними просторами).

Смеш-добуток найчастіше використовується у теорії гомотопії. Оскільки в теорії гомотопії часто розглядаються інші категорії окрім категорії усіх топологічних просторів іноді використовуються модифікації в означенні смеш-добутку. Наприклад, смеш-добуток двох CW-комплексів є CW комплекс лише якщо в означенні замість звичайного добутку топологічних просторів використовується добуток CW комплексів.

Означення

Еквівалентно означення смеш-добутку можна дати за допомогою букету просторів.

Простори $X$ і $Y$ можна ідентифікувати із підпросторами $X\times Y$, а саме $X\times \{y_0\}$ і $\{x_0\}\times Y$. Ці підпростори перетинаються в єдиній точці: $(x_0,y_0)$, яка є виділеною точкою у $X\times Y$. Об'єднання цих підпросторів можна ідентифікувати із букетом просторів X ∨ Y. Ідентифікація породжується двома неперервними відображеннями: $f_1:X\to X\times y_{0}x\to x\times y_0$, $f_2:Y\to x_0\times Yy\to x_0\times y$. Відображення відправляють виділені точки просторів $X$ і $Y$ у виділену точку $(x_0,y_0)$ і тому індукують відображення $f:X\vee Y\to X\times y_0\cup x_0\times Y.$ Це відображення є гомеоморфізмом.

Тоді еквівалентно можна дати означення смеш-добутку як фактор-простору

$X\wedge Y=(X\times Y)/(X\vee Y).$

Якщо $f:X\to A$ і $g:Y\to B$ є неперервними відображеннями між просторами із виділеними точками і $f\times g:X\times Y\to A\times B$ стандартний тензорний добуток функцій, то $f\times g(X\vee Y)\subset A\vee B.$ Тому можна дати означення смеш-добутку функцій між просторами із виділеними точками: якщо $x\wedge y$ є класом еквівалентності $x\times y$ у $X\wedge Y$ то $f\wedge g(x\wedge y)=f(x)\wedge g(x).$

Властивості

• Смеш-добуток будь-якого простору із виділеною точкою X із 0-сферою (яка є дискретним простором із двома точками) є гомеоморфним простору X.
• Якщо $f:X\to A,h:A\to C$, а також $g:Y\to B,k:B\to D$ є неперервними відображеннями між просторами із виділеними точками то $(f\wedge g)\circ (h\wedge k)=(h\circ f)\wedge (k\circ g).$
• Якщо $f,f^{\prime }:X\to A$ є гомотопними між собою і $g,g^{\prime }:Y\to B$ теж є гомотопними, то і відображення $f\wedge g$ і $f^{\prime }\wedge g^{\prime }$ є гомотопними. Також $f\wedge g$ є гомеоморфізмом, якщо гомеоморфізмами є $f$ і $g.$
• Для будь-яких трьох просторів $X,Y,Z$ із виділеними точками простори $(X\vee Y)\wedge Z$ і $(X\wedge Z)\vee (Y\wedge Z)$ є гомеоморфними.
• Якщо додатково $X,Y$ є компактними просторами і $Y$ є гаусдорфовим або $Y,Z$ є компактними просторами і $Z$ є гаусдорфовим то також $(X\wedge Y)\wedge Z\cong X\wedge (Y\wedge Z).$
• Натомість для категорії усіх топологічних просторів з виділеними точками, остання властивість не виконується. Як контрприклад можна розглянути $X=Y=\mathbb{Q}$ і $Z=\mathbb{N}$.
• Категорії просторів із виділеними точками (наприклад компактно породжені простори) у яких існують натуральні (із збереженням виділених точок) гомеоморфізми

  $\begin{array}{cc}X\wedge Y& \cong Y\wedge X,\\ (X\wedge Y)\wedge Z& \cong X\wedge (Y\wedge Z).\end{array}$

є симетричною моноїдальними категоріями де смеш-добуток є моноїдальним добутком, а 0-сфера є одиничним об'єктом. Смеш-добуток можна розглядати як тензорний добуток у відповідній категорії просторів з виділенимими точками.

Приклади

Візуалізація смеш-добутку $S^1\wedge S^1$, як фактор-простору $(S^1\times S^1)/(S^1\vee S^1)$.

• Смеш-добуток двох кіл є фактор-простором тора гомеоморфним 2-сфері.
• Смеш-добуток двох сфер $S^m$ і $S^n$ є гомеоморфним сфері $S^{m+n}$.

Якщо позначити $E^n$ одиничну кулю відповідної розмірності, то $S^n$ є гомеоморфною $E^n/S^{n-1}$. Також існує гомеоморфізм між парами просторів $(E^{n+m},S^{n+m-1})$ і $(E^n\times E^m,E^n\times S^{m-1}\cup S^{n-1}\times E^m)$ і тому фактор-простір $(E^{n+m}/S^{n+m-1})$ є гомеоморфним фактор-простору $E^n\times E^m/E^n\times S^{m-1}\cup S^{n-1}\times E^m$.

Розглянемо тепер композицію відображення $E^n\times E^m\to (E^n/S^{n-1})\times (E^m/S^{m-1})\to (E^n/S^{n-1})\wedge (E^m/S^{m-1}),$ де оба відображення є очевидними відображеннями на фактор-простори. Ця композиція є відображенням простору $E^n\times E^m$ на фактор-простір по підпростору $E^n\times S^{m-1}\cup S^{n-1}\times E^m.$ Образ цього підпростору є виділеною точкою у $(E^n/S^{n-1})\wedge (E^m/S^{m-1})$. Тому $(E^n\times E^m)/(E^n\times S^{m-1}\cup S^{n-1}\times E^m)$ є гомеоморфним $(E^n/S^{n-1})\wedge (E^m/S^{m-1})$. Разом з попереднім звідси випливає, що $(E^{n+m}/S^{n+m-1})$ є гомеоморфним $(E^n/S^{n-1})\wedge (E^m/S^{m-1})$. І остаточно звідси одержується гомеоморфізм $S^{n+m}$ і $S^n\wedge S^m$.

• Смеш-добуток простору $X$ із колом є гомеоморфним редукованій надбудові $X$:

  $\mathrm{\Sigma }X\cong X\wedge S^1$.

• Аналогічно із редукованою надбудовою за допомогою смеш-добутку можна дати означення редукованого конуса: для простору $X$ редукованим конусом називається смеш-добуток $X\wedge I$, де $I$ позначає одиничний відрізок $[0,1]$. Редукований конус є стягуваним простором.
• $k$-разове застосування редукованої надбудови до простору $X$ приводить до простору гомеоморфного смеш-добутку $X$ і k-сфери

  ${\mathrm{\Sigma }}^{k}X\cong X\wedge S^k$.

Відношення спряження

Аналогію між тензорним добутком і смеш-добутком можна більш точно описати за допомогою спряжених функторів. У категорії модулів над комутативним кільцем $R$, функтор тензорного добутку $(-{\otimes }_{R}A)$ є лівим спряженим до функтора Hom $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,-)$ тобто:

$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(X\otimes A,Y)\cong \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(X,\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,Y))$.

У категорії просторів із виділеними точками, смеш-добуток відіграє роль тензорного добуток у цій формулі. Зокрема, якщо A є локально компактним гаусдорфовим простором, тоді є спряження:

$\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}{\mathrm{s}}_{\mathrm{*}}(X\wedge A,Y)\cong \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}{\mathrm{s}}_{\mathrm{*}}(X,\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}{\mathrm{s}}_{\mathrm{*}}(A,Y))$.

де $\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}{\mathrm{s}}_{\mathrm{*}}$ позначає неперервні відображення, що відображають виділену точку у виділену точку і на $\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}{\mathrm{s}}_{\mathrm{*}}(A,Y)$ задана компактно-відкрита топологія.

Зокрема, якщо $A$ є одиничне коло $S^1$, то функтор надбудови $\mathrm{\Sigma }$ є лівим спряженим до функтора простору петель $\mathrm{\Omega }$:

$\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}{\mathrm{s}}_{\mathrm{*}}(\mathrm{\Sigma }X,Y)\cong \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}{\mathrm{s}}_{\mathrm{*}}(X,\mathrm{\Omega }Y)$.

Див. також

• Букет просторів
• Надбудова (топологія)
• Тензорний добуток

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation