Розшарований кодобуток

Розшарований кодобуток (також розшарована сума, амальгама) — поняття в теорії категорій, двоїсте поняттю розшарованого добутку. Розшарований кодобуток єкограницею діаграми, що складається із двох морфізмів Шаблон:Math. Він складається з об'єкта P і двох морфізмів X → P і Y → P, що разом із початковими морфізмами утворюють діаграму, що називається кодекартовим квадратом.

Означення

Нехай Шаблон:Math — морфізми в категорії Шаблон:Math. Розшарованим кодобутком для пари морфізмів Шаблон:Math називається об'єкт P і морфізми i₁ : X → P і i₂ : Y → P для яких діаграма нижче є комутативною:

Окрім того P є універсальним серед об'єктів з цією властивістю. А саме, для будь-якого об'єкта Шаблон:Math з морфізмами Шаблон:Math, які доповнюють Шаблон:Math до комутативного квадрата, існує єдиний морфізм Шаблон:Math, для якого діаграма нижче є комутативною:

Для розшарованого кодобутку часто використовуються позначення $P=X{\bigsqcup }_{Z}Y$ або $P=X{+}_{Z}Y$.

Як і будь-які універсальні конструкції, розшарований кодобуток не обов'язково існує, але якщо існує, то визначений з точністю до ізоморфізму.

Приклади

• У категорії множин $X{\bigsqcup }_{Z}Y$ — диз'юнктне об'єднання Шаблон:Math і Шаблон:Math, в якому ототожнюються елементи із однаковим прообразом в Шаблон:Math. Більш точно, $X{\bigsqcup }_{Z}Y=X\bigsqcup Y/\sim ,$ де Шаблон:Math — найменше відношення еквівалентності, таке що Шаблон:Math.

• Конструкція склеювання просторів є прикладом побудови розшарованого кодобутку в категорії топологічних просторів. Більш детально, якщо Шаблон:Math — підпростір у Шаблон:Math і Шаблон:Math — відповідне відображення включення, то можна «склеїти» Шаблон:Math з Шаблон:Math по Шаблон:Math, використовуючи «відображення відповідності» Шаблон:Math. Одержаний в результаті склеєний простір $X{\cup }_{f}Y$ є розшарованим кодобутком Шаблон:Math і Шаблон:Math.

• Окремим випадком попереднього прикладу є букет просторів X і Y з виділеними точками, де Z є одноточковим простором. Тоді розшарований кодобуток є рівним $X\vee Y$, простору отриманому ідентифікацією виділених точок просторів X і Y.

• В категорії абелевих груп розшаровані кодобутки можна розглядати як прямий сумі абелевих груп «зі склеюванням». А саме, якщо Шаблон:Math і Шаблон:Math — гомоморфізми із спільною областю визначення Шаблон:Math, то розшарований кодобуток є факторгрупою прямої суми по підгрупі, породженій всіма елементами виду Шаблон:Math. Приблизно те ж саме можна зробити в категорії модулів.

• У категорії груп розшарований кодобуток називається вільним добутком з амальгамацією.

• У категорії комутативних кілець розшарованим кодобутком кілець A, B і гомоморфізмів f : C → A і g : C → B є тензорний добуток кілець $A{\otimes }_{C}B$ із морфізмами $g^{\prime }:A\to A{\otimes }_{C}B$ і $f^{\prime }:B\to A{\otimes }_{C}B$ для яких $f^{\prime }\circ g=g^{\prime }\circ f$.

Властивості

• Якщо існує розшарований кодобуток A⊔_CB, то існує також розшарований кодобуток B⊔_CA і натуральний ізоморфізм A∪_CB ≅ B∪_CA.
• В абелевій категорії всі кодобутки існують і вони зберігають коядра, а саме якщо (P, i₁, i₂) є розшарованим кодобутком f : Z → X і g : Z → Y, тоді натуральні перетворення coker(f) → coker(i₂) і coker(g) → coker(i₁) є ізоморфізмами.
• Існує натуральний ізоморфізм (A⊔_CB)⊔_B D ≅ A⊔_CD. Більш детально:
  • якщо задано морфізми f : C → A, g : C → B і h : B → D і
  • розшарований кодобуток f і g задано як i : A → P і j : B → P, і
  • розшарований кодобуток j і h задано як k : P → Q і l : D → Q ,
  • тоді розшарований кодобуток f і hg задано як ki : A → Q і l : D → Q.

Графічно це означає, що два кодекартові квадрати розташовані поруч, із одним спільним морфізмом, утворюють більший кодекартів квадрат, якщо ігнорувати спільний морфізм.

• Кодобутки є розшарованими кодобутками із початкового об'єкта; ковирівнювач морфізмів f, g : X → Y є розшарованим кодобутком [f, g] і [1_X, 1_X], тому якщо в категорії є початковий об'єкт і визначені всі розшаровані кодобутки, тоді в ній існують кодобутки і ковирівнювачі.
• Натомість розшарований кодобуток f : Z → X і g : Z → Y можна отримати через кодобутки і ковирівнювачі. Для цього спершу вводиться кодобуток X і Y. Тоді можна розглядати два морфізми із Z у цей кодобуток: морфізм одержаний композицією f і стандартного морфізму з X у кодобуток і морфізм одержаний композицією g і стандартного морфізму з Y у кодобуток. Розшарований кодобуток f і g є рівним ковирівнювачу цих морфізмів.

Див. також

• Кодобуток
• Розшарований добуток

Література

• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; (1990). Abstract and Concrete Categories Шаблон:Webarchive (4.2MB PDF). John Wiley & Sons. Шаблон:Isbn.
• Шаблон:Cite book