Теорія множин Цермело — Френкеля

Шаблон:UniboxТеорія множин Цермело — Френкеля (позначається ZF) — найпоширеніша аксіоматика теорії множин, і, через це, найпоширеніша основа математики.

ZFC — теорія множин Цермело — Френкеля з аксіомою вибору (AC).

ZFC містить єдине примітивне онтологічне поняття — множина, та єдине онтологічне припущення, що всі об'єкти в досліджуваному просторі (наприклад, всі математичні об'єкти) є множинами.

Вводиться єдине бінарне відношення — приналежність до множини; позначає що множина $a$ є елементом множини $b$, та записується як $a\in b$.

ZFC є теорією першого порядку; в ZFC містяться аксіоми, в яких використовується логіка першого порядку. Ці аксіоми описують: порівняння, існування, побудову та впорядкування множин.

Передумови створення

Аксіоматична теорія множин — напрям у математичній логіці, присвячений вивченню фрагментів змістовної теорії множин методами математичної логіки. З цією метою фрагменти теорії множин подають у вигляді аксіоматичної теорії. В основі сучасної теорії множин лежить система аксіом, які приймають без доведення і з яких виводять усі теореми теорії множин. Передумовами створення такої теорії стало відкриття деяких парадоксів (антиномій, суперечностей) так званої «наївної» теорії множин. Серед таких парадоксів найбільш відомими є парадокси Рассела та Кантора.

Першою аксіоматикою такого роду була система Z Цермело (E. Zermelo, 1908). Однак у цій системі неможливо було природним чином формалізувати деякі розділи математики, і А.Френкель (A. Frenkel, 1922) запропонував доповнити систему Z новим принципом, який назвав аксіомою підстановки. Отриману систему називають системою аксіом Цермело — Френкеля і позначають ZF.

Аксіоми ZFC

Порівняння

Аксіома екстенсіональності (об'ємності) (Z1)

Дві множини рівні тоді й тільки тоді, коли вони мають одні й ті ж елементи.

$\mathrm{\forall }A,\mathrm{\forall }B:A=B⟺(\mathrm{\forall }C:C\in A⟺C\in B)$

Існування

Аксіома нескінченності (Z7)

Існує така множина A, що включає в себе пусту множину {} та для будь-якого належного їй елемента B включає також і множину, сформовану як об'єднання B та її синґлетону {B}.

$\mathrm{\exists }A:\varnothing \in A\wedge (\mathrm{\forall }B:B\in A\Rightarrow B\cup \{B\}\in A)$

Аксіома порожньої множини

Існує множина без елементів.

$\mathrm{\exists }A:\mathrm{\forall }B\mathrm{\neg }(B\in A)$

Таку множину зазвичай позначають як ∅ або {} та називають порожньою множиною.

Побудови

Аксіома пари (Z2)

Для будь-яких множин A та B існує множина C така, що A та B є її єдиними елементами. Множина C позначається {A, B} і називається невпорядкованою парою A та B.

$\mathrm{\forall }A,\mathrm{\forall }B,\mathrm{\exists }C,\mathrm{\forall }D:D\in C⟺(D=A\vee D=B)$

Тобто, якщо A = B, то існує множина C така, що вона складається з одного елемента {A, A} = {A} (який має назву синглетона).

Аксіома булеана (Z4)

Для будь-якої множини А існує множина B, елементами якої є ті й тільки ті елементи що є підмножинами A.

$\mathrm{\forall }A,\mathrm{\exists }B,\mathrm{\forall }C:C\in B⟺(\mathrm{\forall }D:D\in C\Rightarrow D\in A).$

Якщо ввести відношення підмножини $\subseteq$, то формулу можна спростити:

$\mathrm{\forall }A,\mathrm{\exists }B,\mathrm{\forall }C:C\in B⟺C\subseteq A.$

Множину B називають булеаном множини A та позначають $𝒫(A)$.

Аксіома об'єднання (Z5)

Для двох множин існує третя, яка включає в себе всі елементи обох, і тільки їх.

$\mathrm{\forall }A,\mathrm{\exists }B,\mathrm{\forall }C:C\in B⟺(\mathrm{\exists }D:C\in D\wedge D\in A)$

З аксіоми прямо випливає, що об'єднання множин також є множиною. Множина B називається об'єднанням A, і позначається ∪A.

Схема специфікації (аксіома виділення) (Z3)

Для будь-якої множини А і властивості P існує множина B, елементами якої є ті й тільки ті елементи множини А, які маю властивість P.

$\mathrm{\forall }A,\mathrm{\exists }B,\mathrm{\forall }C:C\in B⟺C\in A\wedge P(C)$

Для кожної такої властивості P (предиката, що не використовує символ B), існує окрема аксіома виділення. Тому комплект таких аксіом називають схемою.

Схема перетворення (аксіома підстановки) (ZF)

Нехай А - множина, і P(x,y) - предикат. Тоді якщо для кожного x існує єдиний y, такий що P(x,y) істинний, тоді існує множина всіх y, для яких знайдеться такий x ∈ A, що P(x,y) істинний.

$(\mathrm{\forall }x,\mathrm{\exists }!y:P(x,y))\to \mathrm{\forall }A,\mathrm{\exists }B,\mathrm{\forall }y:y\in B⟺\mathrm{\exists }x\in A:P(x,y)$

Впорядкування

Аксіома регулярності (ZF)

В будь-якій непорожній множині А є елемент B, що перетин А та B є порожньою множиною.

$\mathrm{\forall }A(\mathrm{\exists }B(B\in A)\to \mathrm{\exists }B(B\in A\wedge \mathrm{\neg }\mathrm{\exists }C(C\in A\wedge C\in B))).$

Якщо ввести операцію перетину множин $\cap$, то формулу можна спростити:

$\mathrm{\forall }A(A\ne \varnothing \to \mathrm{\exists }B(B\in A\wedge B\cap A=\varnothing ))$

Аксіома вибору (Z6)

Для довільного сімейства непорожніх множин, що не перетинаються, існує множина, яка має рівно один спільний елемент з кожною множиною даного сімейства, навіть якщо множин у сімействі нескінченно багато і невизначено правило вибору елемента з кожної множини.

Надлишковість

• Аксіома порожньої множини явним чи неявним чином присутня у всіх аксіоматичних теоріях множин. В ZF не є виокремленою, а включається в аксіому нескінченності.
• Аксіомна схема виділення не входить в ZF, оскільки виводиться із пізніше введеної аксіомної схеми підстановки та аксіоми порожньої множини.
• Аксіома пари виводиться із аксіоми підстановки, аксіоми порожньої множини та аксіоми булеана.

Див. також

• Теорія множин
• Теорія множин фон Неймана — Бернайса — Геделя
• Z-нотація

Джерела

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Хаусдорф.Теория множеств
• Шаблон:Куратовский.Мостовский.Теория множеств