Максимальна функція Гарді — Літлвуда

У математиці максимальний оператор Гарді — Літлвуда M є важливим сублінійним оператором, що широко застосовується у дійсному і гармонічному аналізі. Аргументом цього оператора є локально інтегровна функція f : R^d → C і результатом інша функція Mf яка в кожній точці x ∈ R^d рівна супремуму середніх значень, які функція f має в усіх кулях з центром у цій точці. Точніше

$Mf(x)=\underset{r>0}{\sup }\frac{1}{|B(x,r)|}\underset{B(x,r)}{\int }|f(y)|dy$

де B(x, r) є кулею радіуса r з центром у точці x і |E| позначає d-вимірну міру Лебега підмножини E ⊂ R^d.

Середнє значення є неперервною функцією аргументів x і r, тому максимальна функція Mf, як супремум по r > 0, є вимірною. Важливим результатом є те, що Mf є майже всюди скінченною, що випливає із максимальної нерівності Гарді — Літлвуда.

Максимальна нерівність Гарді — Літлвуда

Оператор M є обмеженим як сублінійний оператор із L^p(R^d) у себе для p > 1. Якщо f ∈ L^p(R^d) тоді максимальна функція Mf є слабко L¹-обмеженою і Mf ∈ L^p(R^d). Для формального твердження теореми позначимо для простоти як {f > t} множину {x | f(x) > t}. Тоді:

Теорема (Слабка оцінка). Для d ≥ 1 і f ∈ L¹(R^d), існує константа C_d > 0 така, що для всіх λ > 0:

$|\{Mf>\lambda \}|<\frac{C_d}{\lambda }\Vert f{\Vert }_{L^1({𝐑}^d)}.$

Із використанням цієї нерівності і теореми Марцинкевича можна отримати сильніше твердження:

Теорема (Сильна оцінка). Для d ≥ 1, 1 < p ≤ ∞ і f ∈ L^p(R^d),

існує константа C_p,d > 0 для якої

$\Vert Mf{\Vert }_{L^p({𝐑}^d)}\le C_{p,d}\Vert f{\Vert }_{L^p({𝐑}^d)}.$

Найкращі значення для константи C_p,d не є відомими. Проте Штейн із використанням метода Зигмунта — Кальдерона довів таку теорему:

Теорема (незалежність від розмірності). Для 1 < p ≤ ∞ можна вибрати C_p,d = C_p незалежно від розмірності d.

Доведення

Для p = ∞, нерівність є тривіальною (оскільки середнє значення функції є не більшим ніж її істотний супремум). Для 1 < p < ∞ використовується версія леми Віталі про покриття для доведення слабкої оцінки:

Лема. Нехай X — сепарабельний метричний простір і

$ℱ$

— сім'я відкритих куль обмеженого діаметра. Тоді у

$ℱ$

існує не більш, ніж зліченна підмножина

${ℱ}^{\prime }$

усі елементи якої не перетинаються між собою і також

$\bigcup _{B\in ℱ}B\subset \bigcup _{B\in {ℱ}^{\prime }}5B$

де 5B для кулі B позначає кулю з тим же центром і радіусом в 5 раз більшим.

Якщо Mf(x) > t, тоді, за означенням, можна знайти кулю B_x з центром у точці x для якої

$\underset{B_x}{\int }|f|dy>t|B_x|.$

Згідно леми, серед таких куль можна знайти послідовність куль B_j, що не перетинаються між собою і для яких кулі 5B_j покривають множину {Mf > t}. Звідси також:

$|\{Mf>t\}|\le 5^d\sum _j|B_j|\le \frac{5^d}{t}\int |f|dy.$

Це завершує доведення слабкої оцінки. Далі із неї доводяться оцінки для L^p. Введемо функцію b задану як b(x) = f(x), якщо |f(x)| > t/2 і 0 в іншому разі. Застосувавши слабку оцінку до функції b одержуємо:

$|\{Mf>t\}|\le \frac{2C}{t}\underset{|f|>\frac{t}{2}}{\int }|f|dx,$

де C = 5^d. Тоді

$\Vert Mf{\Vert }_p^p=\int \underset{0}{\overset{Mf(x)}{\int }}p{t}^{p-1}dtdx=p\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{p-1}|\{Mf>t\}|dt$

Згідно оцінки вище маємо:

$\Vert Mf{\Vert }_p^p\le p\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{p-1}(\frac{2C}{t}\underset{|f|>\frac{t}{2}}{\int }|f|dx)dt=2Cp\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{|f|>\frac{t}{2}}{\int }{t}^{p-2}|f|dxdt=C_p\Vert f{\Vert }_p^p$

де константа C_p залежить лише від p і d. Це завершує доведення теореми.

Константу $C=5^d$ у доведенні можна покращити до $3^d$ використовуючи внутрішню регулярність міри Лебега і скінченну версію леми Віталі про покриття.

Застосування

Максимальна нерівність Гарді — Літлвуда застосовується зокрема для доведення таких тверджень:

• Теорема Лебега про диференціювання
• Теорема Радемахера

Коментарі

Найменші значення констант C_p,d і C_d є невідомими.

Є кілька варіантів максимального оператора Гарді — Літлвуда у означенні яких замість куль із центром у вказаній точці використовуються інші сім'ї множин. Наприклад можна розглядати оператор

$f^{*}(x)=\underset{x\in B_x}{\sup }\frac{1}{|B_x|}\underset{B_x}{\int }|f(y)|dy$

де кулі B_x мають містити точку x, але x може не бути центром таких куль. Іншим прикладом є діадичний максимальний оператор

$M_{\mathrm{\Delta }}f(x)=\underset{x\in Q_x}{\sup }\frac{1}{|Q_x|}\underset{Q_x}{\int }|f(y)|dy$

де Q_x позначає діадичні куби, що містять точку x. Обидва ці оператори задовольняють максимальну нерівність Гарді — Літлвуда.

Література

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Rami Shakarchi & Elias M. Stein, Princeton Lectures in Analysis III: Real Analysis. Princeton University Press, 2005