Теорема найбільшої ваги

У теорії представлення, галузі математики, теорема найбільшої ваги класифікує незвідні представлення складної напівпростої алгебри Лі $𝔤$ . Існує тісно пов’язана теорема, що класифікує незвідні представлення пов'язаної компактної групи Лі $K$ . У теоремі зазначається, що існує бієкція

$\lambda \mapsto [V^{\lambda }]$

з множини "домінуючих інтегральних елементів" на множину класів еквівалентності незвідних представлень $𝔤$ або $K$ . Різниця між двома результатами полягає в точному понятті "інтеграл" у визначенні домінуючого інтегрального елемента. Якщо $K$ просто зв'язана, ця відмінність зникає.

Твердження

Нехай $𝔤$ - скінченновимірна напівпроста складна алгебра Лі з підалгеброю Картана $𝔥$ . Нехай $R$ - пов'язана система коренів. Потім ми кажемо, що елемент $\lambda \in 𝔥$ є інтегральним , якщо

$2\frac{⟨\lambda ,\alpha ⟩}{⟨\alpha ,\alpha ⟩}$

- ціле число для кожного кореня $\alpha$ . Далі вибираємо набір $R^{+}$ додатних коренів, і говоримо, що елемент $\lambda \in 𝔥$ є домінуючим, якщо $⟨\lambda ,\alpha ⟩\ge 0$ для усіх $\alpha \in R^{+}$ . Елемент $\lambda \in 𝔥$ є домінуючим інтегралом, якщо він є і домінуючим, і інтегральним. Нарешті, якщо $\lambda$ і $\mu$ знаходяться в $𝔥$, ми говоримо, що $\lambda$ більше ніж $\mu$, якщо $\lambda -\mu$ може бути вираженим лінійною комбінацією додатних коренів з від'ємними реальними коефіцієнтами.

Вага $\lambda$ представлення $V$ з $𝔤$ тоді називається найбільшою вагою, якщо $\lambda$ більше, ніж будь-яка інша вага $\mu$ з $V$ .

Тоді теорема про найбільшу вагу констатує:

• Якщо $V$ є незвідним скінченновимірним представленням $𝔤$, то $V$ має унікальну найбільшу вагу, і ця найбільша вага є домінуючим інтегралом.
• Якщо два незвідні скінченновимірні представлення мають однакову найбільшу вагу, вони є ізоморфними.
• Для кожного домінуючого інтегрального елемента $\lambda$, існує скінченновимірне незвідне представлення з найбільшою вагою $\lambda$ .

Найскладніша частина - остання; побудова скінченновимірні незвідного представлення.

Випадок компактної групи

Нехай $K$ сполучене компактною групою Лі з алгеброю Лі $𝔨$ і нехай $𝔤:=𝔨+i𝔨$ - комплексифікація $𝔤$. Нехай $T$ -максимальним тором в $K$ з алгеброю Лі $𝔱$ . Тоді $𝔥:=𝔱+i𝔱$ є підалгеброю Картана $𝔤$, і ми можемо сформувати зв'язану кореневу систему $R$ . Тоді теорія продовжується приблизно так само, як і у випадку алгебри Лі, з однією суттєвою різницею: поняття цілісності інше. Зокрема, ми говоримо, що елемент $\lambda \in 𝔥$ є аналітично цілісним якщо

$⟨\lambda ,H⟩$

- це ціле число завжди, коли

$e^{2\pi H}=I$

де $I$ є елементом ідентичності $K$ . Кожен аналітично цілісний елемент є цілісним у сенсі алгебри Лі, але можуть бути цілісні елементи в сенсі алгебри Лі, які не є аналітично цілісними. Ця відмінність відображає той факт, що якщо $K$ не є просто зв'язаним, можуть бути представлення $𝔤$, які не походять від представлень $K$ . З іншого боку, якщо $K$ просто зв'язаний, поняття "цілісний" і "аналітично цілісний" збігаються.

Теорема найбільшої ваги для представлень $K$ тоді є таким самим, як і у випадку алгебри Лі, за винятком того, що "цілісний" замінюється на "аналітично цілісний".

Доведення

Є щонайменше чотири доведення:

• Оригінальне доведення Германа Вейля з точки зору компактної групи, засноване на формулі характеру Вейля та теоремі Пітера – Вейля .
• Теорія модулів Верми містить теорему найвищої ваги. Такий підхід застосовується у багатьох стандартних підручниках (наприклад, Хамфріс та частина II Холу).
• Теорема Бореля – Вайля – Ботта будує незвідне представлення як простір глобальних ділянок простого лінійного пучка; як наслідок випливає теорема найбільшої ваги. (Підхід використовує алгебраїчну геометрію, але дає дуже швидкий доказ.)
• Інваріантний теоретичний підхід: конструюються незвідні предствлення як субпредставлення тензорної потужності стандартних представлень. Такий підхід пов'язаний з Х. Вейлом і досить добре працює для класичних груп.

Дивись також

• Класифікація скінченновимірних представлень алгебри Лі
• Теорія представлення зв'язаної компактної групи Лі
• Ваги в теорії представлення напівпростих алгебр Лі

Список літератури

• Шаблон:Citation Шаблон:Citation Шаблон:Citation
• Fulton, William ; Харріс, Джо (1991). Теорія репрезентації Перший курс . Випускники тексти з математики, читання з математики. 129 . Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг. doi : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN   Fulton, William Fulton, WilliamMICTEP   1153249 . OCLC   246650103 .
• Шаблон:Citation Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation Шаблон:Citation .