Умова Оре

У теорії кілець умовою Оре називається деяка властивість елементів некомутативного кільця при якій для кільця можна побудувати кільця часток із властивостями схожими до комутативного випадку.

Мотивація

У комутативній алгебрі, локалізація кільця є одним із найважливіших засобів дослідження. При локалізації елементи деякої множини $S$ кільця стають оборотними і можуть розглядатися як знаменники. Щоб така конструкція мала зміст необхідно лише щоб множина $S$ була мультиплікативною, містила 1 і не містила 0.

При спробі узагальнити цю конструкцію на випадок некомутативних кілець виникає кілька проблем. Хоча можна ввести абстрактні кільця в яких елементи $S$ будуть оборотними і які задовольняють деяку універсальну властивість аналогічну до комутативного випадку, але ці кільця загалом мають погані властивості і їх не просто задати. Навіть у випадку кілець без дільників нуля, наприклад, існують кільця які не можна вкласти у тіло, тобто у цьому випадку немає загальної конструкції аналогічної до поля часток.

Більш конкретно, якщо намагатися подібно до комутативного випадку формально розглядати вирази виду as⁻¹, то виникають проблеми із інтерпретацією добутку (as⁻¹)(bt⁻¹). Щоб можна було отримати змістовну конструкцію такого виду потрібно переписати добуток s⁻¹b як b₁s₁⁻¹. Якщо це можливо, то помноживши зліва на s і справа на s₁, отримаємо еквівалентну умову Шаблон:Nowrap. Відповідно для довільних добутків потрібно для всіх b і s існування b₁ і s₁ із Шаблон:Nowrap і для яких Шаблон:Nowrap.

Норвезький математик Ойстен Оре у 1931 році ввів саме цей критерій і показав, що при цьому можна ввести кільця часток із хорошими математичними властивостями . Надалі ідеї Оре були узагальнені Кейзо Асано і іншими.

Означення

Нехай $R$ є довільним некомутативним кільцем. Нехай $S$ є множиною регулярних елементів (тобто елементів, що не є лівими чи правими дільниками нуля). Ця множина є мультиплікативною, не містить 0 і містить 1 (якщо R є кільцем з одиницею). У випадку кілець без дільників нуля $S=R-\{0\}$.

Кільце $R$ задовольняє праву умову Оре, якщо для всіх елементів $s\in S,a\in R$ існують елементи $t\in S,r\in R$ для яких $at=sr$ або еквівалентно:

$aS\cap sR\ne \mathrm{\varnothing }$.

Кільце у якому виконується права умова Оре називається правим кільцем Оре.

У випадку кілець без дільників нуля $R$ задовольняє праву умова Оре, якщо для всіх елементів $a,b\in R-\{0\}$ виконується умова:

$aR\cap bR\ne \{0\}$,

тобто $a$ і $b$ мають деяке спільне кратне справа окрім 0.

Еквівалентно можна ввести означення лівої умови Оре і лівого кільця Оре.

Кільця і тіла часток

Класи еквівалентності

Якщо кільце $R$ задовольняє праву умову Оре, то можна сформувати кільце правих часток подібно до того, як утворюється кільце часток для комутативного кільця. Елементами кільця часток будуть вирази виду

$a/s$ де $a\in R,s\in R\{0\}$.

Дві «частки» $a/s$ і $a^{\prime }/s^{\prime }$ вважаються рівними якщо існують елементи $b,b^{\prime }$ для яких $sb=s^{\prime }{b}^{\prime }\in S$ і $ab=a^{\prime }{b}^{\prime }$. (Формально, вводиться відношення еквівалентності на множині $R\times (R-\{0\})$, і $a/s$ позначає клас еквівалентності $(a,s)$.)

Арифметичні операції

Для введених «часток» можна ввести операції додавання і множення. А саме для $a/s$ і $b/t$ згідно умови Оре існують регулярні елементи $x,y\in S$ для яких $sx=ty.$ Тоді додавання задається як $a/s+b/t=(ax+by)/sx.$

Також для $a/s$ і $b/t$ згідно умови Оре існують $c\in R,d\in S$ для яких $sc=bd$ і множення можна ввести як $a/s\cdot b/t=ac/td.$

Введені операції додавання і віднімання є коректними, тобто не залежать від представників класів еквівалентності часток і від елементів $x,y\in S$ і $c\in R,d\in S$ із умов Оре.

Усі частки із операціями додавання і множення утворюють кільце, яке позначається $R{S}^{-1}$ або $Q_{cl}^r(R)$ і називається класичним правим кільцем часток.

Усі елементи $s/s,s\in S$ утворюють одну частку (належать одному класу еквівалентності). Цей клас є одиницею у кільці $R{S}^{-1}$.

Аналогічно можна ввести означення лівого кільця чи тіла часток. Варто зауважити, що кільце може задовольняти праву умову Оре і не задовольняти ліву і навпаки. Проте, якщо кільце є одночасно лівим і правим кільцем Оре (або просто кільцем Оре), тоді відповідні ліві і праві кільця часток є ізоморфними.

Канонічне вкладення у кільце часток

Для будь-якого $a\in R$ елементи $as/s,s\in S$ належать одному класу і визначається ін'єктивний гомоморфізм $\varphi :a\mapsto as/s,$ що є вкладенням $R$ у $R{S}^{-1}$.

Кільця правих часток $R{S}^{-1}$ і ін'єктивний гомоморфізм кілець $\varphi :R\to R{S}^{-1}$, задовольняють умови:

• Для всіх $s\in S$, $\varphi (s)$ є оборотним елементом.
• Кожен елемент $R{S}^{-1}$ можна записати як $\varphi (a)\varphi (s{)}^{-1}$ для деяких $a\in R,s\in S$.

Теорема Оре

Теорема Оре: Для кільця $R$ існує вкладення $\varphi :R\to R{S}^{-1}$ у кільце з одиницею $R{S}^{-1}$, що задовольняє дві вказані умови, якщо і тільки якщо $R$ є правим кільцем Оре.

Тіло часток

Якщо $R$ є кільцем без дільників нуля, то його кільце правих часток $Q^r(R)$ буде тілом і ця конструкція узагальнює поле часток для комутативних областей цілісності.

До того ж виконується універсальна властивість

Якщо $\alpha :R\to R^{\prime }$ є гомоморфізмом кілець для якого $\alpha (a)$ для всіх $a\ne 0$ є оборотним елементом у $R^{\prime }$ тоді $\alpha$ однозначно продовжується до гомоморфізму $\hat{\alpha }:Q^r(R)\to R^{\prime }.$

Властивості і приклади

• Кожне (ліве чи праве) кільце Нетер без дільників нуля задовольняє (ліву/праву) умову Оре.
• Кільце без дільників нуля є (правим/лівим) кільцем Оре якщо і тільки якщо воно є рівномірним (лівим/правим) модулем над собою, тобто перетин двох ненульових підмодулів завжди буде ненульовим підмодулем.
• Кільце цілих кватерніонів є кільцем Оре і його тілом часток є тіло раціональних кватерніонів.
• Довільне комутативне кільце є кільцем Оре і звичайна локалізація є кільцем часток.
• Нехай $k$ — поле, $k[x]$— кільце многочленів від змінної $x$ і $k(x)$— кільце раціональних функцій над $k$ від змінної $x$. Тоді кільце

$R=\left(\begin{array}{cc}k& k[x]\\ 0& k[x]\end{array}\right)$

є правим кільцем Оре із кільцем правих часток

$R=\left(\begin{array}{cc}k& k(x)\\ 0& k(x)\end{array}\right)$.

Проте це кільце не є лівим кільцем Оре оскільки

$S\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\cap R\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& x\end{array}\right)=\mathrm{\varnothing }$

тобто ліва умова Оре порушується.

Узагальнення

Означення кільця (правих) часток $R{S}^{-1}$ можна модифікувати для більш загальних множин $S$ (замість «класичної» множини регулярних елементів кільця $R$). В загальному випадку проте гомоморфізм $\varphi$ може не бути ін'єктивним. Натомість виконується умова:

ker $\varphi =\{a\in R:\mathrm{\exists }s\in Sas=0\}$.

Кільце (правих) часток щодо множини $S$ можна побудувати якщо і тільки якщо $S$ задовольняє властивості:

• Для всіх $s\in S,a\in R$ існують елементи $t\in S,r\in R$, для яких $at=sr$ , (узагальнення умови Оре для $S$.)
• Якщо для $a\in R$ існує елемент $s\in S$ для якого $sa=0$, то існує також $s^{\prime }\in S$ із властивістю $a{s}^{\prime }=0$.

Див. також

• Локалізація кільця
• Повне кільце часток
• Поле часток

Література

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation