Лема Осґуда

У комплексному аналізі кількох змінних лемою Осґуда називається твердження про еквівалентність кількох означень голоморфної функції кількох змінних. Лема стверджує, що неперервна функція кількох комплексних змінних, що є голоморфною по кожній змінній окремо є голоморфною. Вимога неперервності у твердженні насправді не є необхідною, що є змістом сильнішої теореми Хартогса. Лема названа на честь американського математика Вільяма Фогга Осґуда, який довів її у 1899 році.

Твердження

Якщо комплексна функція $f(z)$ є неперервною у відкритій множині $D\subset {ℂ}^n$і голоморфною по кожній змінній окремо, то вона є голоморфною в D.

Доведення

Виберемо будь-яку точку $\omega \in D$ і замкнутий полікруг $\overline{\mathrm{\Delta }}(\omega ,r).$ Оскільки $f(z)$ є голоморфною по кожній змінній окремо, багаторазове застосування інтегральної формули Коші (для функцій однієї змінної) приводить до формули

$f(z)={\left(\frac{1}{2\pi i}\right)}^n\underset{|{\omega }_1-{\xi }_1|=r_1}{\int }\frac{d{\xi }_1}{{\xi }_1-z_1}\underset{|{\omega }_2-{\xi }_2|=r_2}{\int }\frac{d{\xi }_2}{{\xi }_2-z_2}\dots \underset{|{\omega }_n-{\xi }_n|=r_n}{\int }\frac{d{\xi }_n}{{\xi }_n-z_n}f(\xi )$

справедливої ​​при всіх $z\in \mathrm{\Delta }(\omega ,r).$

Для будь-якої фіксованої точки z підінтегральний вираз у цій формулі є неперервною функцією на компактній області інтегрування, тому повторний інтеграл можна замінити одним кратним інтегралом

$f(z)={\left(\frac{1}{2\pi i}\right)}^n\underset{|{\omega }_i-{\xi }_i|=r_i}{\int }\frac{f(\xi )d{\xi }_1\dots d{\xi }_n}{({\xi }_1-z_1)\dots ({\xi }_n-z_n)}.$

Для фіксованої точки $z\in \mathrm{\Delta }(\omega ,r)$ ряд

$\frac{1}{({\xi }_1-z_1)\dots ({\xi }_n-z_n)}=\sum _{k_1,\dots ,k_n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(z_1-{\omega }_1{)}^{k_1}\dots (z_n-{\omega }_n{)}^{k_n}}{({\xi }_1-{\omega }_1{)}^{k_1+1}\dots ({\xi }_n-{\omega }_n{)}^{k_n+1}}$

є абсолютно і рівномірно збіжним для будь-якої точки $\xi$ з області інтегрування у кратному інтегралі. Отже, після підстановки цього розкладу в інтеграл і зміни порядку сумування і інтегрування одержується розклад функції $f(z)$ у степеневий ряд виду

$\sum _{k_1,\dots ,k_n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_{k_1,\dots ,k_n}(z_1-{\omega }_1{)}^{k_1}\dots (z_n-{\omega }_n{)}^{k_n}$

з коефіцієнтами

$c_{k_1,\dots ,k_n}={\left(\frac{1}{2\pi i}\right)}^n\underset{|{\omega }_i-{\xi }_i|=r_i}{\int }\frac{f(\xi )d{\xi }_1\dots d{\xi }_1}{({\xi }_1-{\omega }_1{)}^{k_1+1}\dots ({\xi }_n-{\omega }_n{)}^{k_n+1}}.$

Отже $f(z)$є голоморфною функцією.

Див. також

• Голоморфна функція
• Теорема Хартогса

Література

• Шаблон:Citation