Теорема Бельтрамі — Еннепера

Теорема Бельтрамі — Еннепера — теорема про властивості асимптотичних ліній регулярних поверхонь.

Теорема доведена незалежно один від одного Еудженіо Бельтрамі у 1866 році у і Альфредом Еннепером у 1870 році.

Твердження теореми

Якщо кривина асимптотичної лінії в заданій точці не є рівною нулю то квадрат скруту цієї лінії дорівнює кривині поверхні у цій точці зі знаком мінус.

Для асимптотичної кривої, якщо визначена дотична площина, то вона збігається з дотичною площиною до поверхні. Тому замість квадрата скруту потрібно взяти квадрат швидкості обертання дотичної площини в цій точці при зміщенні по асимптотичній кривій. Це переформулювання є корисним коли кривина асимптотичної лінії в точці дорівнює нулю і отже дотична площина є невизначеною.

Доведення

Нехай $\gamma (s)$ — асимптотична крива на регулярній поверхні S. Оскільки за означенням нормальна кривина у напрямку ${\gamma }^{\prime }(s)$ є рівною нулю і ${\gamma }^{″}(s)$ є ненульовим вектором (оскільки кривина є ненульовою), то з означень нормальної кривини і теореми Меньє випливає, що вектор ${\gamma }^{″}(s)$ є ортогональним до N (нормалі до поверхні). Тоді також $N(s)=\pm b(s)$ де $b(s)$ позначає бінормаль у точках кривої. Тоді за означенням ${\tau }^2=|b^{\prime }(s){|}^2=|N^{\prime }(s){|}^2=|N^{\prime }(\gamma (s)){|}^2.$

Останній вираз можна переписати через відображення Вейнгартена як $|N^{\prime }(\gamma (s)){|}^2=(dN({\gamma }^{\prime }(s)),dN({\gamma }^{\prime }(s)))=((dN{)}^2({\gamma }^{\prime }(s)),{\gamma }^{\prime }(s))=III({\gamma }^{\prime }(s)),$ де $III({\gamma }^{\prime }(s))$ — третя фундаментальна форма і використана самоспряженість оператора Вейнгартена.

Три фундаментальні форми задовольняють рівність $III({\gamma }^{\prime }(s))=-K\cdot I({\gamma }^{\prime }(s))+2H\cdot II({\gamma }^{\prime }(s)).$ З означення асимптотичної кривої $II({\gamma }^{\prime }(s))=0,$ також $I({\gamma }^{\prime }(s))=1$ оскільки крива задана натуральною параметризацією.

Об'єднуючи всі рівності, маємо ${\tau }^2=III({\gamma }^{\prime }(s))=-K.$

Див. також

• Асимптотична крива
• Відображення Гауса
• Теорема Меньє

Література

• Шаблон:Citation