Функція Салема

Функція Салема є функцією розподілу випадкової величини $\xi =\frac{{\xi }_1}{2}+\frac{{\xi }_2}{2^2}+\cdots ,$ де ${\xi }_n$ — послідовність незалежних в сукупності випадкових величин, які набувають значень $0$ та $1$ з ймовірностями $p$ та $1-p$ відповідно, де $p\in (0;\frac{1}{2})\cup (\frac{1}{2};1).$

Потрібно відмітити, що при $p=0\Rightarrow \xi \in {\mathrm{I}}_1,$ тобто $\xi$ має вироджений розподіл з параметром $1$ і відповідно $p=1\Rightarrow \xi \in {\mathrm{I}}_0.$ При $p=\frac{1}{2}$ маємо $\xi \in U_{[0;1]},$ тобто $\xi$ має рівномірний розподіл на відрізку $[0;1].$

Актуальність

Функція Салема — одна із перших сингулярних строго зростаючих функцій на відрізку $[0;1]$. В деяких джерелах відповідну функцію називають функцією Салема-Такача. Це викликано тим, що Такач, у відповідному дослідженні, розглядав аналогічну функцію для параметра $p=\frac{1}{3}.$
Функція Салема є цікавою тим, що є одним з перших прикладів строго зростаючих функцій розподілу, існування яких було далеко незрозумілим та неочевидним всілякому загалу наукового рівня відповідного характеру. У зв'язку з чим навіть в роботах достатньо визнаного характеру зустрічалось означення сингулярної функції розподілу ймовірностей наступного типу: під сингулярною функцією розподілу ймовірностей розуміють функцію розподілу множина точок росту якої має міру Лебега 0.

Властивості

Для $F_{\xi }(x)$ виконуються такі властивості:

1) $F_{\xi }(x)$ сингулярна, тобто $F_{\xi }^{\text{'}}(x)=0$ майже скрізь в розумінні міри Лебега.

2) $F_{\xi }(x)$ строго зростає на відрізку $[0;1].$

3) Для функції Салема виконується наступна функціональна рівність $F_{\xi }(x)=p{F}_{\xi }(2x)+(1-p)F_{\xi }(2x-1),$ причому $F_{\xi }(x)=$ $\{\begin{array}{cc}0,& x\le 0,\\ 1,& x\ge 1.\end{array}$

Відомо, що правильне обернене твердження: якщо неперервна функція $\phi (x)$ задовольняє умови $\phi (x)=p\phi (2x)+(1-p)\phi (2x-1)$ для деякого $p\in (0;\frac{1}{2})\cup (\frac{1}{2};1)$ і $\{\begin{array}{cc}0,& x\le 0,\\ 1,& x\ge 1,\end{array}$ то $\phi (x)$ є функцією Салема.

4) $F_{\xi }(x)$ задовольняє умову Гьольдера з показником $\lambda ={\log }_2\max \{p;1-p\},$ який не можна покращити:

$|F_{\xi }(x_1)+F_{\xi }(x_2)|\le C|x_1-x_2{|}^{\lambda },$ $\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in ℝ,ℂ$.

5) Якщо $N_{\mathrm{\infty }}$ — множина точок $x\in [0;1]$ таких, що $F_{\xi }^{\text{'}}(x)=+\mathrm{\infty },$ то ${\alpha }_0(N_{\mathrm{\infty }})\ge -\frac{\ln p^p(1-p{)}^{1-p}}{{\ln }_2},$ де ${\alpha }_0$ — розмірність Гаусдорфа-Безиковича.

6) Якщо $f_{\tau }(t)$ — характеристична функція випадкової величини $\tau ,$ то $L_{\xi }\ge {\left(\prod _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}(1-4p(1-p)\sin \frac{2\pi }{2^n})\right)}^{\frac{1}{2}},$ де $L_{\xi }=\underset{|t|\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\sup |f_{\xi }(t)|$.