Розмірність Гаусдорфа

Розмірність Гаусдорфа — розмірність множини (в метричному просторі) дорівнює $\mathrm{lim\; inf}{\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{\ln (\rho (n))}{\ln (n)}$, де $\rho (n)$ — мінімальне число множин діаметра $1/n$, якими можна покрити множину. Наприклад, у тривимірному евклідовому просторі Гаусдорфова розмірність скінченної множини рівна нулю, розмірність гладкої кривої — одиниці, розмірність гладкої поверхні — двійці і розмірність множини додатного об'єму — трьом. Для фрактальних множин розмірність Гаусдорфа може набувати дробових значень.

Трикутник Серпінського. Простір з фрактальною розмірністю log₂ 3 або ln3/ln2, що прибл. дорівнює 1.585

Означення

Означення розмірності Гаусдорфа складається з декількох кроків. Нехай $M$ — обмежена множина у метричному просторі $X$. Наприклад, нехай $X=R^n$.

$\delta$-покриття

Нехай $\delta >0,\delta \in R$. Не більш ніж зліченну сім'ю $\{U_i{\}}_{i\in I}$ підмножин простору $X$ будемо називати $\delta$-покриттям множини $M$, якщо виконуються такі дві властивості:

• $M\subset \bigcup _{i\in I}{U}_i$
• для всіх $i\in I$ діаметр $\text{diam }{U}_i<\delta$ (для всіх $i\in I$ діаметр множин $U_i$ менший за $\delta$.

ρ-міра Гаусдорфа

Нехай $\rho >0$. Нехай $\mathrm{\Theta }=\{U_i{\}}_{i\in I}$ — покриття множини $M$. Визначимо наступну функцію, яка в деякому плані визначає розмір цього покриття: $F_{\rho }(\mathrm{\Theta }):=\sum _{i\in I}(\mathrm{diam}{U}_i{)}^{\rho }$. Позначимо через $M_{\rho }^{\delta }(M)$ «мінімальний розмір» $\delta$-покриття множини $M$: $M_{\rho }^{\delta }(M):=\inf (F_{\rho }(\mathrm{\Theta }))$, де інфімум береться по всіх $\delta$-покриттях множини $M$. Очевидно, що функція $M_{\rho }^{\delta }(M)$ спадає по $\delta$. Отже, у неї є скінченна або нескінченна границя при $\delta \to 0$: $M_{\rho }(M)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\delta \to 0+}{M}_{\rho }^{\delta }(M)$. Величина $M_{\rho }(M)$ називається $\rho$-мірою Гаусдорфа множини $M$.

Властивості ρ-міри Гаусдорфа

• $\rho$-міра Гаусдорфа є борелівською мірою на $X$.
• з точністю до множення на коефіцієнт: 1-міра Гаусдорфа для гладких кривих збігається з їх довжиною; 2-міра Гаусдорфа для гладких поверхонь збігається з їх площею; $d$- міра Гаусдорфа множин у ${ℝ}^d$ збігається з їхнім $d$-мірним об'ємом.
• $M_{\rho }(M)$ спадає по $\rho$. Більш того для будь-якої множини $M$ існує критичне значення ${\rho }_0$, таке, що:
  • $M_{\rho }(M)=0$ для всіх $\rho >{\rho }_0$
  • $M_{\rho }(M)=+\mathrm{\infty }$ для всіх $\rho <{\rho }_0$ Значення $M_{{\rho }_0}(M)$ може бути нульовим, скінченним або нескінченним.

Визначення розмірності Гаусдорфа

Розмірністю Гаусдорфа множини $M$ називається число ${\rho }_0$ з попереднього пункту.

Властивості розмірності Гаусдорфа

• Розмірність Гаусдорфа будь-якої множини не більша за нижню та верхню розмірності Мінковського.
• Розмірність Гаусдорфа не більш ніж зліченного об'єднання множин дорівнює максимальній розмірності об'єднаних множин. Зокрема, додавання зліченної множини до будь-якої множини не змінює її розмірності.
• Для самоподібних множин розмірність Гаусдорфа може бути обчислена явно. Неформально, якщо множина розбивається на $n$ частин, подібних до вихідної множини з коефіцієнтами $r_1,r_2,\dots ,r_n$, то її розмірність $s$ є розв'язком рівняння $r_1^s+r_2^s+\dots +r_n^s=1$. Наприклад, розмірність множини Кантора дорівнює $\ln 2/\ln 3$ (розбивається на дві частини, коефіцієнт подібності 1/3), а розмірність трикутника Серпінського — $\ln 3/\ln 2$ (розбивається на 3 частини, коефіцієнт подібності 1/2).

Див. також

• Розмірність Лебега
• Розмірність Мінковського
• Фрактал

Література

• Шаблон:Cite book

Джерела

• Бенуа Мандельброт. Фрактальна геометрія природи.
• А. Морозов. Введение в теорию фракталов.
• Пайтген Х. О. Рихтер П. Х. Красота фракталов.
• Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах
• Божокин С. В. Паршин Д. А. Фракталы и мультифракталы.
• K.I. Falconer. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications.
• Федер Е. Фракталы. — М.: МИР, 1991. — С. 254. — ISBN 5-03-001712-7