Псевдометричний простір

В математиці, псевдометричний простір є узагальненням метричного простору, у якому відстань між двома різними точками може бути рівною нулю. Кожен напівнормований простір є псевдометричним простором, аналогічно як нормований простір є метричним.

Означення

Псевдометричним простором $(X,d)$ називається множина $X$ разом із невід'ємною дійснозначною функцією $d:X\times X⟶{ℝ}_{\ge 0}$ (що називається псевдометрикою), такою що, для усіх точок $x,y,z\in X$,

1. $d(x,x)=0$.
2. $d(x,y)=d(y,x)$ (симетричність)
3. $d(x,z)⩽d(x,y)+d(y,z)$ (нерівність трикутника)

На відміну від метричних просторів, можливі випадки коли $d(x,y)=0$ для різних точок $x\ne y$.

Приклади

• На будь-якій множині $X$ можна ввести нульову псевдометрику, для якої $d(x,y)=0$ для всіх $x,y\in X$. Ця псевдометрика породжує антидискретну топологію.
• Псевдометрики часто виникають у функціональному аналізі. Розглянемо простір $ℱ(X)$ дійснозначних функцій $f:X\to ℝ$ разом із виділеною точкою $x_0\in X$. Тоді на просторі функцій можна ввести псевдометрику

$d(f,g)=|f(x_0)-g(x_0)|$

для $f,g\in ℱ(X)$

• Для векторного простору $V$, напівнорма $p$ породжує псевдометрику на $V$:

$d(x,y)=p(x-y).$

Навпаки, однорідна, інваріантна щодо перенесень псевдометрика породжує напівнорму.

• Псевдометрики відграють важливу роль у теорії комплексних многовидів.
• Кожен вимірний простір $(\mathrm{\Omega },𝒜,\mu )$ є повним псевдометричним простором з псевдометрикою

$d(A,B):=\mu (A△B)$

для всіх $A,B\in 𝒜$, де $△$ позначає симетричну різницю множин.

• якщо $f:X_1\to X_2$ є функцією і d₂ — псевдометрика на X₂, то $d_1(x,y):=d_2(f(x),f(y))$ є псевдометрикою на X₁. Якщо d₂ є метрика і f є ін'єктивною, тоді d₁ є метрикою.
• Якщо $d_i;i\in \mathbb{N}$є псевдометриками на $X$ то і довільна скінченна сума $d(x,y)=d_1(x,y)+d_2(x,y)+\cdots +d_n(x,y)$ і також $d(x,y)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^{-i}\frac{d_i(x,y)}{1+d_i(x,y)}$ будуть псевдометриками на $X$.

Топологія

Псевдометричною топологією називається топологія, породжена відкритими кулями у псевдометриці:

$B_r(p)=\{x\in X\mid d(p,x)<r\},$

які утворюють базу топології. Топологічний простір називається псевдометризовним, якщо для нього існує псевдометрика, топологія якої збігається з заданою топологією простору.

Псевдометрика є метрикою, якщо і тільки якщо її топологія задовольняє аксіому T₀.

Псевдометризовна топологія є цілком регулярною, але не обов'язково гаусдорфовою: одноточкові множини можуть бути незамкнутими. Кожна цілком регулярна топологія може бути задана сім'єю псевдометрик як структурне об'єднання породжених ними топологій. Аналогічно, сім'ї псевдометрик використовуються для означення, опису і дослідження рівномірних структур.

Псевдометричний простір є нормальним і задовольняє першій аксіомі зліченності. Друга аксіома зліченності виконується в тому і тільки в тому випадку, коли цей простір є сепарабельним.

Метрична ідентифікація

Псевдометрика задає відношення еквівалентності, що називається метричною ідентифікацією і для якого фактор-множина є метричним простором. У цьому відношенні $x\sim y$ якщо $d(x,y)=0$. Нехай $X^{*}=X/\sim$ — фактор-простір Шаблон:Var для цього відношення еквівалентності. Введемо функцію

$\begin{array}{cc}{d}^{*}:(X/\sim )& \times (X/\sim )⟶{ℝ}_{+}\\ d^{*}([x],[y])& =d(x,y)\end{array}$

Тоді $d^{*}$ є метрикою на $X^{*}$ і $(X^{*},d^{*})$ є метричним простором, що називається метричним простором, породженим псевдометричним простором $(X,d)$.

Функція $d^{*}$ є добре означеною, тобто не залежить від представників класу еквівалентності. Справді нехай $d(x_1,x_2)=0$ і $d(y_1,y_2)=0$, тобто $[x_1]=[x_2]$ і $[y_1]=[y_2]$. Тоді з нерівності трикутника і симетрії $d(x_1,y_1)⩽d(x_1,x_2)+d(x_2,y_2)+d(y_2,y_1)=0+d(x_2,y_2)+0=d(x_2,y_2)$. Симетрично також $d(x_2,y_2)⩽d(x_1,y_1)$ і тому $d(x_1,y_1)=d(x_2,y_2)$. Те, що $d^{*}$ задовольняє аксіоми метрики одразу випливає з того, що $d$ задовольняє аксіоми псевдометрики.

Множина $A\subset X$ є відкритою у $(X,d)$, якщо і тільки якщо $\pi (A)=[A]$ є відкритою у $(X^{*},d^{*})$ і ${\pi }^{-1}(\pi (A))=A$.

Див. також

• Метричний простір
• Рівномірний простір

Література

• Келли Дж., Общая топология, пер. с англ., 2 изд., Москва, 1981