Нормальна сім'я функцій

В математиці нормальною сім'єю функцій називається множина функцій заданих на деякому повному метричному просторі із значенням у іншому метричному просторі, для яких із кожної послідовності функцій можна вибрати підпослідовність, що буде рівномірно збіжною на всіх компактних підмножинах. Використовуючи топологічну термінологію, нормальною сім'єю є відносно компактна множина функцій щодо компактно-відкритої топології.

Поняття нормальної сім'ї функцій виникло і широко використовується у комплексному аналізі; зокрема важливими є нормальні сім'ї голоморфних і мероморфних функцій.

Означення для метричних просторів

Сім'я $S$ неперервних функцій $f$ заданих на деякому повному метричному просторі $X$ із значеннями у повному метричному просторі $Y$ називається нормальною якщо кожна послідовність функцій із $S$ містить підпослідовність, яка збігається рівномірно на компактних множинах $X$ до неперервної функції з $X$ у $Y$. Тобто для кожної послідовності функцій з $S$ ,існує підпослідовність $f_n(x)$ і неперервна функція $f(x)$ з $X$ у $Y$, такі що для кожної компактної підмножини $K$ у $X$:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{x\in K}{\sup }{d}_Y(f_n(x),f(x))=0$

де $d_Y(y_1,y_2)$ є метрикою повного метричного простору $Y$.

Нормальні сім'ї у комплексному аналізі

Голоморфні функції і відображення

Нехай ${ℂ}^n,{ℂ}^m$ — багатовимірні комплексні простори із стандартною метрикою заданою евклідовою нормою. Тобто, якщо $z=(z_1,...,z_n)$ і $w=(w_1,...,w_n)$ дві точки простору ${ℂ}^n$ то $d(z,w)=\sqrt{\sum _{i=1}^n(z_i-w_i)(\overline{z_i-w_i})}$.

Нехай $S$ — деяка сім'я голоморфних відображень з ${ℂ}^n$ у ${ℂ}^m$, тобто композиція цих відображень із координатними функціями є голоморфними функціями багатьох комплексних змінних.

Сім'я відображень $S$ називається нормальною, якщо у вказаних метриках довільна послідовність відображень з цієї сім'ї містить підпослідовність, що збігається рівномірно на компактах. В цьому випадку граничним відображенням теж є голоморфне відображення. Тому означення нормальної сім'ї можна сформулювати по-іншому:

нормальна сім'я голоморфних відображень в області — сім'я $S$ голоморфних відображень $f(z)$ комплексних змінних $z=(z_1,...,z_n)$ в області $D$ простору ${ℂ}^n,n⩾1$, така, що з будь-якої послідовності відображень з $S$ можна виділити підпослідовність $\{f_{\nu }(z)\}$, що рівномірно збігається на компактних підмножинах $D$ до голоморфного відображення.

Сім'я $S$ називається нормальною сім'єю в точці $z_0\in D$, якщо $S$ є нормальною в деякій кулі з центром в точці $z_0$. Сім'я $S$ є нормальною в області $D$ тоді і тільки тоді, коли вона є нормальною в кожній точці $z_0\in D$. Будь-яка компактна сім'я голоморфних функцій є нормальною; обернене твердження є невірним.

Одним з головним критерієм нормальності у цьому випадку є теорема Монтеля:

Нехай $S$ — сім'я голоморфних відображень на відкритій підмножині $U\subseteq {ℂ}^n$. Якщо всі ці відображення є обмежені на компактах, тобто для кожної компактної підмножини $K\subseteq U$ існує дійсне число $M=M_K$, таке що для всіх $z\in K$ і всіх $f_{\alpha }\in S$ справедливою є нерівність $|f_{\alpha }(z)|⩽M$, де норма є евклідовою нормою простору ${ℂ}^m$. Тоді сім'я функцій $S$ є нормальною.

Голоморфні функції із сферичною метрикою

Іншим важливим випадком при вивченні голоморфних функцій є коли на комплексній площині задана сферична або хордальна метрики. Ці метрики задаються на розширеній комплексній площині і завдяки її інтерпретації як сфери (сфери Рімана) через стереографічну проєкцію. Тоді для двох точок $z_1,z_2$ розширеної комплексної площини у хордальній метриці відстань $\xi (z_1,z_2)$ дорівнює евклідовій відстані між цими точками як точками на сфері Рімана у тривимірному просторі, а у сферичній метриці відстань $\rho (z_1,z_2)$ — довжині коротшої дуги великого кола на сфері, що сполучає ці дві точки. Оскільки для довільних точок $\xi (z_1,z_2)⩽\rho (z_1,z_2)⩽\frac{\pi }{2}\xi (z_1,z_2)$ то для поняття рівномірної збіжності вони є еквівалентними. Для точок $z_1,z_2\in ℂ$ хордальну метрику можна записати як:

$\xi (z_1,z_2)=\frac{|z_1-z_2|}{\sqrt{1+|z_1{|}^2}\sqrt{1+|z_2{|}^2}}$.

У випадку коли одна з точок рівна нескінченності $\xi (z_1,\mathrm{\infty })=\frac{1}{\sqrt{1+|z_1{|}^2}}$.

Сім'я функцій $S$ голоморфних в області в області $D$ простору ${ℂ}^n,n⩾1$ називається нормальною, якщо з сферичною (чи еквівалентно хордальною) метрикою довільна послідовність функцій з цієї сім'ї містить підпослідовність, що збігається рівномірно на компактах.

Еквівалентно можна дати означення: нормальна сім'я голоморфних функцій в області — сім'я $S$ однозначних голоморфних функцій $f(z)$ комплексних змінних $z=(z_1,...,z_n)$ в області $D$ простору ${ℂ}^n,n⩾1$, така, що з будь-якої послідовності функцій з $S$ можна виділити підпослідовність $\{f_{\nu }(z)\}$, що рівномірно на компактах у $D$ до голоморфної функції або до нескінченності. При цьому, за визначенням, підпослідовність $\{f_{\nu }(z)\}$ рівномірно збігається на компактах у $D$ до нескінченності, якщо для будь-яких компакта $K\subset D$ і числа $M>0$ можна вказати такий номер $N=N(K,M)$, що $|f_{\nu }(z)|>M$ для всіх $\nu >M,z\in K$.

Очевидно, що це означення нормальної сім'ї голоморфних функцій є ширшим, ніж попереднє і для нього теж виконується теорема Монтеля. Також аналогічно до попереднього вводиться поняття нормальності у точці.

Друга теорема Монтеля або фундаментальний критерій нормальності:

Якщо для сім'ї $S$ голоморфних функцій в області $D\subset {ℂ}^n$ жодна з функцій $f(z)\in S$ не є рівною деяким двом значенням, то $S$ є нормальною сім'єю в $D$. Ця ознака нормальності сім'ї значно спрощує дослідження голоморфних функцій в околі істотно особливої точки.

Мероморфні функції

Оскільки сферична і хордальна метрики визначені для розширеної комплексної площини (сфери Рімана), то попереднє означення має зміст і для мероморфних функцій.

Сім'я функцій $S$ мероморфних в області $D\subset ℂ$ називається нормальною, якщо з сферичною (чи еквівалентно хордальною) метрикою довільна послідовність функцій з цієї сім'ї містить підпослідовність, що збігається рівномірно на компактах.

Еквівалентно $S$ є нормальною сім'єю мероморфних функцій в $D$, якщо з будь-якої послідовності функцій з $S$ можна виділити підпослідовність $\{f_{\nu }(z)\}$, що збігається рівномірно на компактах у $D$ до мероморфної функції $f(z)$ або до нескінченності. При цьому, за визначенням, $\{f_{\nu }(z)\}$ збігається до $f(z)$ рівномірно всередині $D$ (випадок $f(z)\equiv \mathrm{\infty }$ включається), якщо для будь-яких компакта $K\subset D$ і числа $ϵ>0$ існують номер $N=N(ϵ,K)$ і круг $B=B(z_0,r)$ радіуса $r=r(ϵ,K)$ з центром в будь-якій точці $z_0\in K$ такі, що при $\nu >N$ виконується $|f_{\nu }(z)-f(z)|<ϵ,z\in B$, коли $f(z_0)\ne \mathrm{\infty }$, або

$|\frac{1}{f_{\nu }(z)}-\frac{1}{f(z)}|<ϵ,z\in B$

коли $f(z_0)=\mathrm{\infty }$.

Друга теорема Монтеля або фундаментальний критерій нормальності:

Якщо для сім'ї $S$ мероморфних функцій в області $D\subset ℂ$ ні одна з функцій $f(z)\in S$ не є рівною деяким трьох значенням, то $S$ є нормальною сім'єю.

Теорема Марті

Сім'я $S$ мероморфних функцій є нормальною сім'єю в області $D\subset ℂ$ тоді і тільки тоді, коли

$\underset{z\in K}{\sup }\{\rho (f(z)):f(z)\in S\}<\mathrm{\infty }$

на кожному компакті $K\subset D$, де :$\rho (f(z))=\frac{|f^{\prime }(z)|}{1+|f(z){|}^2}$ — так звана сферична похідна функції $f(z)$.

Лема Зальцмана

Сім'я $S$ мероморфних функцій в області $D\subset ℂ$ не є нормальною сім'єю тоді і тільки тоді коли існують такі числа $z_n\in D$ дійсні числа $r_n>0$, що збігаються до нуля і функції $f_n\in S$ для яких функції визначені як $g_n(\alpha )=f_n(z_n+r_n\alpha )$ збігаються на комплексній площині рівномірно на компактах (у сферичній чи хордальній метриці) до мероморфної функції $g(\alpha )$, що не дорівнює константі і для якої сферична похідна завжди не більша 1 і дорівнює 1 в точці 0.

Теорема Ройдена

Нехай $S$ — сім'я мероморфних функцій в області $D\subset ℂ$ і $\psi (t)$ — зростаюча функція де $t⩾0$. Якщо для всіх $f\in S$ і $z\in D$ виконується нерівність $|f^{\prime }(z)|⩽\psi (|f(z)|)$, то $S$ є нормальною сім'єю в області $D$.

Див. також

• Теорема Монтеля

Література

• Монтель П., Нормальные семейства аналитических функций, пер. с франц., М.— Л., 1936 Шаблон:Ref-ru
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book