Теорема Блоха (комплексний аналіз)

В комплексному аналізі теорема Блоха стверджує, що для кожної функції голоморфної в одиничному крузі, що задовольняє деякі додаткові вимоги в образі функції міститься круг деякого незалежного від функції радіуса, на якому існує обернена голоморфна функція.

Твердження

Нехай $f$ — голоморфна функція в деякій області, що містить одиничний круг $\bar{B}(0,1)=\{z\in ℂ,|z|\le 1\}$. Припустимо що $f^{\prime }(0)=1$. Тоді існує круг $S\subset B(0,1)$, на якому дана функція є ін'єктивною і образ $f(S)$ містить круг радіуса більшого, ніж $1/72$. Зокрема обернена функція на цьому крузі буде біголоморфізмом.

З цього твердження легко одержується узагальнення: якщо $G\subset ℂ$ — область у $ℂ$, $f:G\to ℂ$ — голоморфна функція і $f^{\prime }(c)=0$ для деякої точки $c\in G$. Тоді $f(G)$ містить відкрите кого радіуса $\frac{1}{72}\cdot \rho \cdot f^{\prime }(c)$, де $\rho <d(c,\partial G)$, на якому існує обернена біголоморфна функція.

Теорема Ландау

Якщо $f$ є голоморфною функцією в одиничному крузі з властивістю $f^{\prime }(0)=1$, тоді образ $f$ містить круг радіуса $l$, де $l⩾b$ є абсолютною константою, що не залежить від конкретної функції.

Ця теорема, яка іноді також називається теоремою Блоха — Ландау, названа на честь Едмунда Ландау.

Теорема Валірона

Історично значний вплив на формулювання теореми Блоха відіграла теорема Валірона:

Якщо $f$ є цілою функцією, тоді існують круги $D$ довільного радіуса і голоморфні в D функції $\phi$, такі що$f(\phi (z))=z$ для всіх $z\in D$.

Доведення

Лема 1

Розглянемо функцію $w=f(z)$, голоморфну у крузі $B(0,R)=\{z\in ℂ,|z|\le R\}$, причому $|F(z)|⩽M$. Нехай $f(0)=0$ і $|f^{\prime }(0)|=\mu$. Тоді $M⩾R\mu$ і $f(B(0,R))\supset B(0,\frac{(R\mu {)}^2}{6M})$.

Доведення

Ввівши функцію $F(z)=\frac{f(Rz)}{(R{f}^{\prime }(0){)}^{-1}}$, отримаємо, що $F(z)$ є голоморфною в крузі $B(0,1)$, $f(0)=0$, $|f^{\prime }(0)|=1$ і в твердженні теореми $M⩾1$. Відповідно доведення можна здійснити у цьому випадку.

Для доведення теореми будемо виходити з розкладу $F(z)$ в ряд Тейлора: $F(z)=z+a_2{z}^2+\dots$.

Коефіцієнти розкладу задовольняють нерівності Коші $|a_i|⩽\frac{M}{r^i}$ для $0<r<1$. Звідси, зокрема, $1=a_1⩽M$.

На колі $|z|=(4M{)}^{-1}$ для модуля $|F(z)|$ отримуємо оцінку

$|F(z)|⩾|z|-\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}|a_n{z}^n|⩾(4M{)}^{-1}-\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}M(4M{)}^{-n}=(4M{)}^{-1}-(16M-4{)}^{-1}⩾(6M{)}^{-1}$

Припустимо $|w|<(6M{)}^{-1}$. Тоді функція $g(z)=F(z)-w$ має нуль. Для $|z|=(4M{)}^{-1}$ маємо $|F(z)-g(z)|=|w|<(6M{)}^{-1}⩽|f(z)|$

Згідно теореми Руше $g$ має в крузі $B(0,(4M{)}^{-1})$ стільки ж коренів, скільки їх має в цьому крузі $f$. Оскільки за припущенням $F(0)=0$ то і $g(z_0)=0$ для деякого $z_0\in B(0,(4M{)}^{-1})$. Тому $f(B(0,1))\supset B(0,1/6M)$.

Лема 2

Нехай $f$ є голоморфною функцією в крузі $B(a,r)$ і також $|f^{\prime }(z)-f^{\prime }(a)|<|f^{\prime }(a)|$ для всіх $z\in B(a,r)$. Тоді $f$ є бієктивною функцією на $B(a,r)$.

Доведення

Якщо $z_1\ne z_2$ — дві точки у $B(a,r)$ і $\gamma =[z_1,z_2]$ — відрізок, що їх сполучає то згідно нерівності трикутника:

$|f(z_1)-f(z_2)|=|\underset{\gamma }{\int }{f}^{\prime }(z)dz|⩾|\underset{\gamma }{\int }{f}^{\prime }(a)dz|-|\underset{\gamma }{\int }(f^{\prime }(z)-f^{\prime }(a))dz|⩾|f^{\prime }(a)||z_1-z_2|-\underset{\gamma }{\int }\left|(f^{\prime }(z)-f^{\prime }(a))\right||dz|$.

Зважаючи на гіпотезу $|f(z_1)-f(z_2)|>0$, тобто $f(z_1)\ne f(z_2)$ і функція є ін'єктивною.

Доведення теореми Блоха

Для $0⩽r⩽1$ позначимо $K(r)=\max \{|f^{\prime }(z):|z|=r\}$ і $h(r)=(1-r)K(r)$. Тоді $h$ є неперервною функцією і $h(0)=1,h(1)=0$. Нехай $r_0=\sup \{r:h(r)=1\}$. Тоді $h(r_0)=1,r_0<1$ і для всіх $r>r_0$ виконується нерівність $h(r)<1$.

Нехай число $a$ таке, що $|a|=r_0$ і $|f^{\prime }(a)=K(r_0)|$. Тоді $|f^{\prime }(a)|=(1-r_0{)}^{-1}$.

Якщо $|z-a|<1/2(1-r_0)={\rho }_0,$ то $|z|<1/2(1+r_0)$. Оскільки $r_0<1/2(1+r_0)$ то з означення $r_0$ отримуємо:

$|f^{\prime }(z)|⩽K(1/2(1+r_0))=\frac{h(1/2(1+r_0))}{(1-1/2(1+r_0){)}^{-1}}<(1-1/2(1+r_0){)}^{-1}=\frac{1}{{\rho }_0}$

для $|z-a|<{\rho }_0$.

З попереднього $|f^{\prime }(z)-f^{\prime }(a)|⩽|f^{\prime }(z)|+|f^{\prime }(a)|<3/2{\rho }_0$.

Згідно леми Шварца звідси випливає, що $|f^{\prime }(z)-f^{\prime }(a)|<\frac{3|z-a|}{2{\rho }_0^2}$ для $z\in B(a,{\rho }_0)$.

Тому якщо $z\in S=B(a,1/3{\rho }_0)$ то $|f^{\prime }(z)-f^{\prime }(a)|<\frac{1}{2{\rho }_0}=|f^{\prime }(a)|$. З леми 2 випливає що $f$ є ін'єктивним на $S$.

Визначимо $g:B(0,1/3{\rho }_0)\to ℂ$ як $g(z)=f(z+a)-f(a)$. Тоді $g(0)=0,|g^{\prime }(0)|=|f^{\prime }(a)|=(2{\rho }_0{)}^{-1}$. Якщо $z\in B(a,1/3{\rho }_0)$ тоді відрізок $\gamma =[a,a+z]$ лежить у $S\subset B(a,{\rho }_0)$.

Тому з попереднього $|g(z)|=|\underset{\gamma }{\int }{f}^{\prime }(w)dw|⩽\frac{|z|}{{\rho }_0}<1/3$.

З леми 1 отримуємо, що $g(B(0,1/3{\rho }_0))\supset B(0,\sigma )$ де $\sigma \frac{(1/3{\rho }_0{)}^2(2{\rho }_0{)}^{-2}}{2}=\frac{1}{72}$.

Якщо перевести це твердження для $f$ то $f(S)\supset B(f(a),1/72)$, що завершує доведення.

Константи Блоха і Ландау

Константа 1/72 в теоремі Блоха не є оптимальною.

Число B, що рівне супремуму всіх b, для яких справджується теорема Блоха, називається константою Блоха . Згідно теореми Блоха $B>1/72$ але точне значення B залишається невідомим.

Подібним чином визначена константа L в теоремі Ландау називається константою Ландау. Її точне значення теж не є відомим.

Найточнішими відомими обмеженнями для B є

$0.4332\approx \frac{\sqrt{3}}{4}+2\times 10^{-4}\le B\le \sqrt{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}\cdot \frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{3})\mathrm{\Gamma }(\frac{11}{12})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{4})}\approx 0.4719,$

де $\mathrm{\Gamma }$ позначає Гамма-функцію. Нижня межа була знайдена у статті Чена і Готьє, верхня межа — у статті Альфорса і Грунського.

Для константи Ландау відомі обмеження

$0.5<L\le \frac{\mathrm{\Gamma }\frac{1}{3}\mathrm{\Gamma }\frac{5}{6}}{\mathrm{\Gamma }\frac{1}{6}}=0.543258965342...$

В своїй статті Альфорс і Грунський сформулювали гіпотезу, що вказані верхні обмеження є рівними константам Блоха і Ландау.

Джерела

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite conference
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• John B. Conway. Functions of One Complex Variable I, second edition. Springer-Verlag, 1995. ISBN 0-387-90328-3.