Гармонійна четвірка
Гармонійна четвірка точок — четвірка точок на проєктивній прямій, подвійне відношення яких . В цьому випадку кажуть також, що точки і гармонійно поєднані відносно і пишуть .
Гармонійна четвірка прямих — четвірка прямих у проєктивній площині, що проходять через одну точку , для яких будь-яка четвірка точок , така, що , що знаходяться на одній прямій, є гармонійною. В цьому випадку пишуть .
Властивості
- Якщо гармонійну четвірку прямих перетинає пряма, то на цій прямій утворюється гармонійна четвірка точок.
- На кожній стороні повного чотиривершинника є гармонійна четвірка точок.
- На кожній діагоналі повного чотиривершинника є гармонійна четвірка точок.
Побудова
Для будь-яких трьох точок, що лежать на одній прямій, користуючись гармонійними властивостями повного четиривершинника, можна побудувати четверту точку так, що вийде гармонійна четвірка точок. А саме, точки перетину поротилежних сторін повного чотиривершинника і точки перетину діагоналей з прямою, що проходить через ці точки, утворюють гармонійну четвірку точок.
Гармонійна четвірка на розширеній евклідовій площині
- Якщо точка невласна, то четвірка є гармонійною, якщо — середина відрізка .
- Якщо — повний чотиривершинник і його діагональні точки — невласні, то на розширеній евклідовій площині — паралелограм, а з його гармонійних властивостей випливає, що точка перетину його діагоналей ділить їх навпіл.
- Якщо — повний чотиривершинник, у якого одна діагональна точка — невласна, , то на розширеній евклідовій площині — трапеція, а з його гармонійних властивостей випливає, що ділить навпіл.