Примарний розклад

В абстрактній алгебрі примарним розкладом ідеала $I$ кільця $R$ (або, більш загально підмодуля $N$ модуля $M$) називається подання цього ідеала (чи модуля) у вигляді перетину примарних ідеалів (примарних підмодулів).

Примарний розклад узагальнює розклад цілого числа в добуток степенів різних простих чисел. Особливо важливим є випадок комутативних нетерових кілець. Для них існування примарного розкладу було доведено Еммі Нетер, яка узагальнила отриманий у 1905 році Ласкером результат про існування такого розкладу для кілець многочленів і збіжних степеневих рядів. Тому цей результат традиційно називається теоремою Ласкера — Нетер.

Означення

Нехай $R$ — комутативне кільце, $M$ і $N$ — модулі над ним.

• Дільник нуля модуля $M$ — елемент $r$ кільця $R$, такий що $rm=0$ для деякого ненульового $m$ з $M$.
• Елемент кільця називається нільпотентним в $M$, якщо $r^{n}M$ = 0 для деякого натурального числа $n$.
• Модуль називається копримарним, якщо кожен його дільник нуля є нільпотентним. Іншими словами, якщо відображення ${\lambda }_r:M\to Mx\to rx$для кожного $r\in R$є або ін'єктивним або нільпотентним. У випадку скінченнопороджених модулів над нетеровим кільцем еквівалентною є умова, що для модуля існує єдиний асоційований простий ідеал.
• Підмодуль $M$ модуля $N$ називається примарним, якщо $N/M$ є копримарним. Множина дільників нуля у цьому випадку є рівною радикалу $𝔭\in \sqrt{\mathrm{Ann}(N/M)}$. Цей ідеал є простим оскільки, очевидно добуток двох елементів, що не є дільниками нуля теж не є дільником нуля. Підмодуль тоді називається $𝔭-$примарним. З означень очевидно, що $rx\in M,r\in R,x\in N,$ якщо і тільки якщо або $x\in M$ або $r\in 𝔭.$
• Ідеал $I$ є примарним, якщо він є примарним підмодулем $R$ як $R$-модуля, тобто коли в фактор-кільці $R/I$ кожен дільник нуля є нільпотентним. Це означення є еквівалентним стандартному означенню: якщо ab належить I то або a належить I або bⁿ належить I для деякого натурального числа n. Іншою еквівалентною умовою є те, що кожен дільник нуля у кільці R/I є нільпотентним.
• Підмодуль $M$ модуля $N$ називається незвідним, якщо він не є перетином двох підмодулів строго більших за нього.
• Простий ідеал, асоційований з модулем $M$ — простий ідеал, який є анулятором деякого елемента модуля.

Теорема Ласкера — Нетер

Теорема Ласкера — Нетер для модулів стверджує, що кожен підмодуль скінченнопородженого модуля над нетеровим кільцем є скінченним перетином примарних підмодулів. У випадку кілець ця теорема стверджує, що кожен ідеал нетерового кільця є скінченним перетином примарних ідеалів.

Еквівалентне формулювання: кожен скінченнопороджений модуль над нетеровим кільцем є підмодулем скінченного добутку копримарних модулів.

Доведення

Нехай $M$ скінченнопороджений модуль над нетеровим кільцем $R$ і $N$ — підмодуль в $M$. Для доведення існування розкладу для $N$ замінивши $M$ на $M/N$ достатньо розглянути випадок $N=0$. Для довільних підмодулів $Q_i$ модуля $M$ маємо еквівалентність:

$0=\cap Q_i\iff \mathrm{\varnothing }=\mathrm{Ass}(\cap Q_i)=\cap \mathrm{Ass}(Q_i)$

Звідси, для підмодуля 0 існує примарний розклад якщо для кожного простого ідеала $𝔭$ асоційованого з модулем $M$ (цих ідеалів є скінченна кількість, деталі у статті Асоційований простий ідеал), існує примарний підмодуль $Q$ такий що $𝔭\in ̸\mathrm{Ass}(Q)$.

Розглянемо множину $\{N\subseteq M|𝔭\in ̸\mathrm{Ass}(N)\}$ (вона є непустою оскільки нульовий модуль є її елементом). Оскільки $M$ є нетеровим модулем то множина має максимальний елемент $Q$ . Якщо $Q$ не є $𝔭$-примарним, наприклад, ${𝔭}^{\prime }\ne 𝔭$ є асоційованим простим ідеалом фактор-модуля $M/Q$, тоді $R/{𝔭}^{\prime }\simeq Q^{\prime }/Q$ для деякого підмодуля Q'. Але $𝔭\in ̸\mathrm{Ass}(Q)$ і також $𝔭\in ̸\mathrm{Ass}(R/{𝔭}^{\prime })\simeq \mathrm{Ass}(Q^{\prime }/Q)$ і з властивостей асоційованих простих ідеалів $𝔭\in ̸\mathrm{Ass}(Q^{\prime })$, що суперечить максимальності $Q$. Як наслідок $Q$ є примарним.

Теореми єдиності

Нехай R — комутативне кільце Нетер. Примарний розклад

$𝔞=\bigcap _{1\le i\le k}{𝔮}_i$

називається незвідним, якщо для будь-якого $(1\le i\le k)$ ${𝔮}_i⊉\bigcap _{j\ne i}{𝔮}_j$ і радикали ${𝔭}_i=\sqrt{{𝔮}_i}$ компонент розкладу є попарно різними. Із довільного примарного розкладу можна отримати незвідний спершу вилучивши всі немінімальні компоненти, а потім замінивши компоненти з однаковим радикалом їх перетином (оскільки перетин примарних ідеалів з однаковим радикалом є примарним ідеалом з тим же радикалом).

Перша теорема єдиності примарного розкладу. Сукупність простих ідеалів $\{{𝔭}_1,...,{𝔭}_n\}$ при незвідному розкладі визначена однозначно ідеалом $𝔞$ і не залежить від примарного розкладу. Ця множина рівна множині ${\mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}}_R(R/𝔞)$ асоційованих простих ідеалів фактор-кільця $R/𝔞$.

Мінімальні за включенням елементи цієї сукупності називаються ізольованими простими ідеалами ідеала $𝔞$, інші — вкладеними простими ідеалами. Множина ізольованих простих ідеалів є рівною множині мінімальних простих ідеалів для ідеала $𝔞$.

Друга теорема єдиності примарного розкладу. Примарні ідеали, радикалами яких є ізольовані прості ідеали, однозначно визначаються ідеалом і не залежать від примарного розкладу.

Приклади

Для кожного додатного цілого числа Шаблон:Math, для кільця $k[x,y]$ для ідеала $I=⟨x^2,xy⟩$ існує примарний розклад

$I=⟨x^2,xy⟩=⟨x⟩\cap ⟨x^2,xy,y^n⟩.$

Асоційованими простими ідеалами для цього ідеала є

$⟨x⟩\subset ⟨x,y⟩.$

Тобто $⟨x⟩$ є ізольованим ідеалом і $⟨x⟩$ є відповідним компонентом, що зустрічається у кожному примарному розкладі.

Геометрична інтерпретація

В алгебричній геометрії, афінна алгебрична множина Шаблон:Math є за означенням рівною множині нулів ідеала Шаблон:Math в кільці многочленів $R=k[x_1,\dots ,x_n].$

Незвідний примарний розклад

$I={𝔮}_1\cap \cdots \cap {𝔮}_r$

ідеала Шаблон:Math задає розклад множини Шаблон:Math в об'єднання алгебричних многовидів $V({𝔮}_i)$, які є незвідними, тобто не є об'єднаннями двох менших алгебричних множин.

Якщо ${𝔭}_i$ є радикалом ідеала ${𝔮}_i$, то $V({𝔭}_i)=V({𝔮}_i),$ і теорема Ласкера — Нетер демонструє, що Шаблон:Math має єдиний ненадлишковий розклад у об'єднання незвідних алгебричних многовидів:

$V(I)=\bigcup V({𝔭}_i),$

де об'єднання береться лише за мінімальними асоційованими простими ідеалами. Ці прості ідеали є елементами примарного розкладу ідеала Шаблон:Math.

Для випадку розкладу алгебричних многовидів значення мають лише мінімальні прості ідеали але в теорії перетинів і теорії схем весь примарний розклад має геометричний зміст.

Див. також

• Асоційований простий ідеал
• Мінімальний простий ідеал
• Примарний ідеал

Література

• Atiyah, Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, 1969, ISBN 0-2010-0361-9.
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:CitationШаблон:Недоступне посилання
• Jean-Pierre Serre, Local algebra, Springer-Verlag, 2000, ISBN 3-540-66641-9.