Симетрична алгебра

У лінійній алгебрі і теорії кілець симетрична алгебра — алгебра над полем чи над кільцем, що є певною мірою узагальненням алгебри многочленів. Симетрична алгебра є підалгеброю тензорної алгебри і має багато спільних властивостей із зовнішньою алгеброю.

Означення

Якщо $M$ — модуль над коммутативно-асоціативним кільцем $A$ з одиницею, $T(M)=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨁}}{T}^k(M)$, де $T^k(M)=M\otimes \cdots \otimes M$, — тензорна алгебра модуля $M$. Введемо також ідеал $I(V)\subseteq T(V)$ виду

$I(M):=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{v\otimes w-w\otimes v|v,w\in V\}$.

Симетричною алгеброю модуля $M$ називається алгебра $S(M)=T(M)/I(M)$.

Властивості

• Симетрична алгебра є комутативною і асоціативною $A$-алгеброю з одиницею.
• Симетрична алгебра є градуйованою:

$S(M)=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨁}}{S}^k(M)$.

де $S^k(M)=T^k(M)/I(M)\cap T^k(M)$.

Зокрема $S^0(M)=A,S^1(M)=M$. Модуль $S^k(M)$ називається k-им симетричним степенем модуля $M$.

• Якщо $M$ — вільний модуль із скінченним базисом $x_1,\dots ,x_n$, то відповідність $x_i\to X_i$ продовжується до ізоморфізму алгебри $S(M)$ і алгебри многочленів $A[X_1,\dots ,X_n]$. Таким чином симетричну алгебра є узагальненням алгебри многочленів
• Для будь-якого гомоморфізму A- модулів $f:M\to N$ k-ий тензорний степінь $T^k(f):T^k(M)\to T^k(N)$ індукує гомоморфізм $S^k(f):S^k(M)\to S^k(N)$ (k-ий симетричний степінь гомоморфізму $f$). Ці гомоморфізми разом задають гомоморфізм A-алгебр $S(f):S(M)\to S(N)$. Відповідності $f\to S^k(f)$ і $f\to S^k(f)$ є відповідно коваріантними функторами з категорії $A$-модулів в себе і в категорію А-алгебр.
• Для будь-яких двох A-модулів М і N існує природний ізоморфізм $S(M\oplus N)\cong S(M)\otimes \cong S(M)$.
• Якщо $V$ — векторний простір над полем $𝕂$ характеристики 0, то симетрична алгебра $S(V)$ є ізоморфною алгебрі симетричних контраваріантних тензорів $T^S$ (тобто алгебрі полілінійних відображень $P:\underbrace{V\otimes \cdots \otimes V}\to 𝕂$) на $V$ разом з операцією симетричного множення:

Якщо $P\in T_k^S,Q\in T_l^S$ — два контраваріантні тензори відповідних порядків то їх симетричний добуток $PQ\in T_{k+l}^S$ за означенням задається як

$(PQ)(v_1,\dots ,v_{k+l})=\frac{1}{(k+l)!}\sum _{\sigma \in S_{k+l}}P(v_{\sigma (1)},\dots .v_{\sigma (k)})Q(v_{\sigma (k+1)},\dots ,v_{\sigma (k+l)})$

• Якщо $V$ — векторний простір розмірності n, то розмірність k-ого симетричного степеня рівна

$\dim (S^k(V))=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k-1}{k})$.

Як наслідок розмірність усієї симетричної алгебри є нескінченною, на відміну від випадку зовнішньої алгебри.

• Симетрична алгебра на векторному просторі є вільним об'єктом категорії комутативних асоціативних алгебр з одиницею.

Див. також

• Зовнішня алгебра
• Кільце многочленів
• Тензорна алгебра

Посилання

• Шаблон:Springer

Література

• Шаблон:Citation
• Johan L. Dupont: Curvature and characteristic classes. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 640. Springer, Berlin-New York 1978. ISBN 3-540-08663-3