Теорема Островського

В теорії чисел, теорема Островського, дає класифікацію всіх абсолютних значень на полі раціональних чисел. Окрім того теоремою Островського також називають пов'язані результати для довільних числових полів і про архімедові абсолютні значення для довільного поля чи тіла.

Допоміжні означення і твердження теореми

Абсолютні значення $|\cdot |$ і $|\cdot {|}_{\ast }$ на полі K є еквівалентними якщо існує додатне дійсне число Шаблон:Math таке що

$|x{|}_{\ast }=|x{|}^c\text{ for all }x\in 𝐊.$

Тривіальним абсолютним значенням на полі K є абсолютне значення

$|x{|}_0:=\{\begin{array}{cc}0,& \text{if }x=0,\\ 1,& \text{if }x\ne 0.\end{array}$

Дійсним абсолютним значенням на полі раціональних чисел Q є стандартний модуль числа тобто

$|x{|}_{\mathrm{\infty }}:=\{\begin{array}{cc}x,& \text{if }x\ge 0\\ -x,& \text{if }x<0.\end{array}$

Для простого числа Шаблон:Mvar, [[P-адичне число|Шаблон:Mvar-адичне]] абсолютне значення на Q можна задати в такий спосіб: довільне раціональне число Шаблон:Mvar, можна в єдиний спосіб записати як $x=p^n\frac{a}{b}$, де Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar цілі числа, що не діляться на Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar є цілим числом; тоді

$|x{|}_p:=\{\begin{array}{cc}0,& \text{if }x=0,\\ p^{-n},& \text{if }x\ne 0.\end{array}$

Теорема Островського: довільне нетривіальне власне значення на полі раціональних чисел є еквівалентним або дійсному власному значенню або Шаблон:Mvar-адичному абсолютному значенню для деякого простого числа Шаблон:Mvar.

Доведення

Розглянемо деяке абсолютне значення на множині $(𝐐,|\cdot {|}_{\ast })$. Є два можливі випадки,

(i) $\mathrm{\exists }n\in 𝐍,|n{|}_{\ast }>1$

(ii) $\mathrm{\forall }n\in 𝐍,|n{|}_{\ast }\le 1$

Достатньо розглянути значення лише на цілих числах більших 1. Справді, якщо число Шаблон:Mvar з множини Шаблон:Math є таким, що для всіх цілих чисел більших 1, $|n{|}_{\ast }=|n{|}_{\ast \ast }^c$ тоді ця рівність також тривіально виконується для 0 і 1, а для додатних раціональних чисел

${\left|\frac{m}{n}\right|}_{\ast }=\frac{|m{|}_{\ast }}{|n{|}_{\ast }}=\frac{|m{|}_{\ast \ast }^c}{|n{|}_{\ast \ast }^c}={\left(\frac{|m{|}_{\ast \ast }}{|n{|}_{\ast \ast }}\right)}^c={\left|\frac{m}{n}\right|}_{\ast \ast }^c.$

Для від'ємних раціональних чисел:

$|-x{|}_{\ast }=|x{|}_{\ast }=|x{|}_{\ast \ast }^c=|-x{|}_{\ast \ast }^c.$

Випадок I: ∃n ∈ N   |n|_∗ > 1

Нехай Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar — натуральні числа і Шаблон:Math. Записавши Шаблон:Mvar в [[Система числення|системі числення з базою Шаблон:Mvar]] отримаємо:

$b^n=\sum _{i<m}{c}_i{a}^i,c_i\in \{0,1,\dots ,a-1\},m\le n\frac{\log b}{\log a}+1.$

Тоді, згідно властивостей абсолютних значень:

$\begin{array}{cc}|b{|}_{\ast }^n& =|b^n{|}_{\ast }\\ & \le am\max \{|a{|}_{\ast }^{m-1},1\}\\ & \le a(n{\log }_{a}b+1)\max \{|a{|}_{\ast }^{n{\log }_{a}b},1\}\end{array}$

Тому

$|b{|}_{\ast }\le {(a(n{\log }_{a}b+1))}^{1/n}\max \{|a{|}_{\ast }^{{\log }_{a}b},1\}$

Проте ми маємо:

$(a(n{\log }_{a}b+1){)}^{1/n}\to 1,\text{as}n\to \mathrm{\infty }$

звідки випливає що:

$|b{|}_{\ast }\le \max \{|a{|}_{\ast }^{{\log }_{a}b},1\}.$

Тепер виберемо Шаблон:Math таке що Шаблон:Math. Використовуючи це в попередньому отримаємо, що Шаблон:Math незалежно від вибору Шаблон:Mvar (в іншому випадку $|a{|}_{\ast }^{{\log }_{a}b}\le 1$ і тому $|b{|}_{\ast }\le 1$). Тож для довільного вибору Шаблон:Math отримуємо

$|b{|}_{\ast }\le |a{|}_{\ast }^{\log b/\log a},$

тобто

$\frac{\log |b{|}_{\ast }}{\log b}\le \frac{\log |a{|}_{\ast }}{\log a}.$

Згідно симетрії, ця нерівність є рівністю.

Оскільки Шаблон:Mvar були довільними, існує константа, $\lambda \in {𝐑}^{+}$ для якої $\log |n{|}_{\ast }=\lambda \log n$, тобто $|n{|}_{\ast }=n^{\lambda }=|n{|}_{\mathrm{\infty }}^{\lambda }$ для всіх цілих чисел Шаблон:Math. Тому, згідно попереднього, $|x{|}_{\ast }=|x{|}_{\mathrm{\infty }}^{\lambda }$, що й доводить еквівалентність із звичайним модулем числа.

Випадок II: ∀n ∈ N   |n|_∗ ≤ 1

Оскільки абсолютне значення не є тривіальним, існує натуральне число для якого Шаблон:Math. Розклавши це число на прості множники,

$n=\prod _{i<r}{p}_i^{e_i}$

можна помітити, що Шаблон:Math має бути меншим 1, хоча б для одного простого множника Шаблон:Math. Доведемо, що абсолютне значення може бути менше 1 лише для одного простого числа.

Припустимо, що Шаблон:Math є двома різними простими числами власне значення яких є меншим 1. Спершу нехай $e\in {𝐍}^{+}$ таке число, що $|p{|}_{\ast }^e,|q{|}_{\ast }^e<\frac{1}{2}$. Згідно алгоритму Евкліда, існують числа Шаблон:Math для яких виконується рівність $m{p}^e+n{q}^e=1$. Звідси отримуємо

$1=|1{|}_{\ast }\le |m{|}_{\ast }|p{|}_{\ast }^e+|n{|}_{\ast }|q{|}_{\ast }^e<\frac{|m{|}_{\ast }+|n{|}_{\ast }}{2}\le 1,$

що приводить до суперечності.

Отож маємо Шаблон:Math для деякого Шаблон:Mvar і Шаблон:Math для Шаблон:Math. Позначивши

$c=-\frac{\log \alpha }{\log p},$

отримуємо що для довільних натуральних чисел

$|n{|}_{\ast }={\left|\prod _{i<r}{p}_i^{e_i}\right|}_{\ast }=\prod _{i<r}{\left|p_i\right|}_{\ast }^{e_i}={\left|p_j\right|}_{\ast }^{e_j}=(p^{-e_j}{)}^c=|n{|}_p^c.$

Як і вище для довільних раціональних чисел $|x{|}_{\ast }=|x{|}_p^c$, тобто абсолютне значення є еквівалентним з Шаблон:Mvar-адичним абсолютним значенням.

Узагальнення теореми Островського

Теоремою Островського часто також називають більш загальні твердження для довільних числових полів, загальних полів чи тіл.

Твердження для числових полів

Нехай $K$ — алгебричне числове поле, тобто скінченне розширення поля раціональних чисел і ${𝒪}_K$— його кільце цілих чисел. Оскільки ${𝒪}_K$ є кільцем Дедекінда, то для будь-якого його простого ідеала $𝔭$ і будь-якого елемента $\alpha \in K^{\times }$ можна записати $(\alpha )={𝔭}^n𝔞{𝔟}^{-1},$ де $(\alpha )$ — головний ідеал породжений цим елементом, а $𝔞,𝔟$ є ідеалами взаємно простими з ідеалом $𝔭$. Тоді можна ввести нормування $v_{𝔭}(\alpha )=m$ і абсолютне значення $|\alpha {|}_{𝔭}:=N(𝔭{)}^{-v_{𝔭}(\alpha )},$ де $N(𝔭)=|{𝒪}_K/𝔭|$ — норма ідеала $𝔭$.

Введена так функція $|\alpha {|}_{𝔭}$ дійсно є абсолютним значенням і з китайської теореми про лишки випливає, що для двох різних простих ідеалів ці абсолютні значення не є еквівалентними.

Іншими прикладами абсолютного значення є модулі числа індуковані вкладенням числового поля в поле дійсних чи комплексних чисел. А саме якщо $\sigma$ є таким вкладенням то $|\alpha {|}_{\sigma }:=|\sigma (\alpha )|$ де в правій частині позначений звичайний модуль дійсного чи комплексного числа. Це абсолютне значення буде архімедовим. Спряжені комплексні вкладення визначають одне абсолютне значення і навпаки, якщо два різні дійсні чи комплексні вкладення задають одне абсолютне значення то вони є комплексно спряженими.

Теорема Островського для числових полів стверджує, що розглянуті вище приклади абсолютних значень є фактично єдиними для числових полів: якщо $K$ — алгебричне числове поле, то будь-яке його неархімедове нетривіальне абсолютне значення є еквівалентним $|\alpha {|}_{𝔭}$ для деякого простого ідеала $𝔭$, а будь-яке архімедове абсолютне значення є еквівалентним $|\alpha {|}_{\sigma }$ для деякого дійсного чи комплексного вкладення $\sigma$.

Твердження для раціональних функцій

Нехай тепер $F$ — поле і $F(T)$ — поле раціональних функцій від однієї змінної над $F$. Оскільки $F(T)$ є полем часток кільця $F[T]$, що є кільцем головних ідеалів, то на $F(T)$ можна ввести нормування $v_{\pi (T)}$ пов'язане із незвідним многочленом $\pi (T)$ зі старшим коефіцієнтом рівним 1. Для довільного $f\in F(T)$ його значення визначається з розкладу $f(T)={\pi }^{v_{\pi }(f)}(T)g(T)/h(T)$, де многочлени $g(T),h(T)$ є взаємно простими з $\pi (T)$.

Для довільного дійсного числа $c\in (0,1)$ можна задати абсолютне значення породжене введеним нормуванням: $|f{|}_{\pi }:=c^{v_{\pi }(f)}.$ Для різних таких $c$ абсолютні значення будуть еквівалентними, натомість для різних незвідних многочленів зі старшим коефіцієнтом рівним 1 відповідні абсолютні значення не будуть еквівалентними.

Окрім того на полі раціональних функцій можна ввести ще одне неархімедове абсолютне значення як: $|f{|}_{\mathrm{\infty }}:=c^{-\mathrm{deg}(f)}.$ Це абсолютне значення не буде еквівалентним попереднім.

Теорема Островського для числових полів: будь-яке нетривіальне абсолютне значення на полі $F(T)$, що є тривіальним на $F$ є еквівалентним або $|f{|}_{\pi }$ для деякого незвідного многочлена $\pi (T)$ зі старшим коефіцієнтом рівним 1 або $|f{|}_{\mathrm{\infty }}.$

Архімедові абсолютні значення на полі та тілі

Теоремою Островського також називають пов'язаний результат, що описує з точністю до еквівалентності всі архімедові абсолютні значення на довільному полі чи, більш загально, тілі: якщо $|x|$  — архімедове абсолютне значення на тілі K, то існує таке вкладення K на деяке всюди щільне підтіло тіла $ℝ,ℂ$ або $ℍ$ (тіло кватерніонів), що $|x|$ є еквівалентним абсолютному значенню, індукованому з $ℝ,ℂ$ або $ℍ$; якщо K є полем то всі можливі вкладення є на поля $ℝ,ℂ$.

Див. також

• P-адичне число
• Абсолютне значення (алгебра)
• Модуль числа

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journalШаблон:Недоступне посилання