Клин (геометрія)

Клин
Властивості	Опуклий
Елементи	6 граней 9 ребер 6 вершин (3-го степеня)
Характеристика Ейлера	$\chi =\mathrm{\Gamma }-\text{P}+\text{B}=2$
Грані	2 трикутники 3 трапеції

Шаблон:Otheruses Клин у геометрії (Шаблон:Lang-en) — це опуклий багатогранник, що складається з п'яти граней: двох трикутників і трьох трапецій . Клин має 9 ребер і 6 вершин. Верхнє ребро клину паралельне основі.

Клин є підкласом призматоїдів, якщо розглядати верхнє ребро як вироджену грань (у призматоїдів дві грані є паралельними).

Порівняння з іншими багатогранниками:

• Якщо одна грань паралелепіпеда вироджується у відрізок, отримається клин.
• Піраміда, основа якої — трапеція (зокрема і паралелогам, прямокутник, квадрат) є клином, в якому одне з ребер вироджене в точку.
• Клин можна розглядати як трикутну зрізану призму.
• Трикутна призма є окремим випадком клина з двома паралельними трикутними гранями.

Часткові випадки

Вид клина	Грані	Зображення	Опис
Правильний клин (правильногранний клин)	3 квадрата 2 правильних трикутника		клин, всі грані якого — правильні багатокутники, всі ребра — однакової довжини. Багатогранник можна розглядати як правильну трикутну призму. Симетрія: Шаблон:Не перекладено, [3,2], (*223) порядок 12 (Діедральна симетрія 3-призми) Має вісь симетрії 3-го порядку та три осі симетрії 2-го порядку; чотири площини симетрії. Також цей клин можна вважати «двосхилим куполом» (купол відрізка і квадрата).
Прямий клин	Основа: 1 прямокутник Бокові грані: 2 прямокутника, 2 рівнобедрених трикутника		клин, основа якого — прямокутник (зокрема і квадрат), а бокові грані прямокутники та рівнобедрені трикутники. Трикутні грані перпендикулярні до основи. Багатогранник можна розглядати як пряму трикутну призму з основою- рівнобедрений трикутник. Має вісь симетрії 2-го порядку; дві площини симетрії. Також цей клин можна вважати «двосхилим куполом» (купол відрізка і прямокутника).
Скошений прямий клин	Основа: 1 прямокутник Бокові грані: 2 рівнобедрених трапеції, 2 рівнобедрених трикутника		клин, основа якого — прямокутник (зокрема і квадрат), а бокові грані рівнобедрені трапеції та рівнобедрені трикутники. Трикутні грані однаково нахилені до основи. Має вісь симетрії 2-го порядку; дві площини симетрії.

Формули

Двічі скошена пряма трикутна призма

Об'єм довільного клина можна обрахувати за фомулою об'єма для двічі скошеної прямої трикутної призми :

$V=\frac{a+b+c}{3}\cdot S_{\perp }$

де $a$ , $b$ , $c$ — довжини паралельних ребер клина.
$S_{\perp }$ — площа перерізу, перпендикулярного до цих ребер.

Скошений прямий клин

Для скошеного прямого клина справедливі формули:

Об'єм:

$V=bh(\frac{a}{3}+\frac{c}{6}),$ (формула справедлива для будь-якого клина з прямокутною основою.)

Площа поверхні:

$S=ab+(a+c)\sqrt{h^2+\frac{b^2}{4}}+b\sqrt{h^2+\frac{(a-c{)}^2}{4}}$

Центр тяжіння лежить на осі клина на відстані $z=\frac{(a+c)\cdot h}{2(2a+c)}$ від його основи.

тут $a$ , $b$ — довжини ребер прямокутної грані клина.
$c$ — довжина верхнього (апексного) ребра, паралельного основі.
$h$ — висота, відстань від верхнього ребра клина до його основи.

Для прямого клина (при $c=a$) формули спрощуються до:

$V=\frac{ab}{2}\cdot h$ ,

$S=ab+b\cdot h+2a\cdot \sqrt{h^2+\frac{b^2}{4}}$ ,

$z=\frac{h}{3}$

Приклади

Клини можна отримати розрізанням інших багатогранників. Наприклад, додекаедр можна розбити на центральный куб і 6 прямих клинів з квадратною основою, що покривають грані куба. Орієнтації клинів обираються так, що трикутні і трапецевидні грані сполучаються й утворюють правильні п'ятикутники.

Два тупих клини можна отримати при розрізанні навпіл правильного тетраедра площиною, яка є паралельною до двох протилежних сторін.

Особливі випадки

Трикутна призма (Паралельний трикутний клин)

Тупокутний клин як зрізаний наполовину правильний тетраедр

Клин, побудований з 8-ми трикутних граней і 2-х квадратів. Його можна розглядати як тетраедр, нарощений двома квадратними пірамідами.

Додекаедр можна роскласти на центральний куб і 6 клинів на його 6-ти квадратних гранях.

Пов'язані багатогранники

Обеліск

Обеліск (Зрізаний прямий клин)– багатогранник у якого нижня та верхня основи є прямокутниками, розташованими в паралельних площинах; протилежні бічні грані (конгруентні рівнобедрені трапеції) однаково нахилені до основи, але не перетинаються.

Об'єм багатогранника можна обрахувати за формулою:

$V=\frac{(2a+a_1)\cdot b+(2a_1+a)\cdot b_1}{6}\cdot h=\frac{a\cdot b+(a+a_1)\cdot (b+b_1)+a_1\cdot b_1}{6}\cdot h$

Джерела

• Шаблон:Книга
• George R. Perkins: Plane and Solid Geometry. Appleton & Co, New York, 1854, S. 115

Посилання

• Шаблон:MathWorld