Скалярна матриця

Скалярна матриця — діагональна матриця, елементи головної діагоналі якої є рівними між собою. Прикладами скалярної матриці є одинична матриця і нульова матриця.

A_{n} = (\begin{matrix} a & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & a & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & a & 0 \\ 0 & 0 & \dots & 0 & a \end{matrix})

Властивості

Скалярна матриця — добуток скаляра і одиничної матриці.

a \cdot E_{n} = A_{n}

Множина скалярних матриц $n \times n$ — це матриці, які комутують з усіма матрицями $n \times n$ , тобто для будь-якої скалярної матриці $S$ і матриці $A$ того ж разміру $A S = S A .$
$\det A_{n} = a^{n}$
$rang A_{n} = {\begin{matrix} n, & a = 0 \\ 0, & a = 0 . \end{matrix}$
$A_{n}^{- 1} = \frac{1}{a} E_{n}$ , де $E_{n}$ — одинична матриця
Скалярні матриці утворюють поле, ізоморфне полю, якому належать елементи матриці.

Скалярною матрицею над полем Р називають матрицю, яка має на головній діагоналі один і той самий елемент $a$ , а поза головною діагоналлю - нулі. Множина $R_{n}^{*}$ усіх скалярних матриць n-го порядку над полем дійсних чисел є комутативним кільцем.

Приклади

Нехай $Q_{a} = (\begin{matrix} a & 0 & . . . & 0 \\ 0 & a & . . . & 0 \\ . & . & . & . \\ 0 & 0 & . . . & a \end{matrix})$ та $Q_{b} = (\begin{matrix} b & 0 & . . . & 0 \\ 0 & b & . . . & 0 \\ . & . & . & . \\ 0 & 0 & . . . & b \end{matrix})$ є стихійно вибрані

матриці з множини $R_{n}^{*}$ . Тоді

$Q_{a} + Q_{b} = (\begin{matrix} a + b & 0 & . . . & 0 \\ 0 & a + b & . . . & 0 \\ . & . & . & . \\ 0 & 0 & . . . & b \end{matrix}),$ $Q_{a} - Q_{b} = (\begin{matrix} a - b & 0 & . . . & 0 \\ 0 & a - b & . . . & 0 \\ . & . & . & . \\ 0 & 0 & . . . & a - b \end{matrix}),$ $Q_{a} Q_{b} = (\begin{matrix} a b & 0 & . . . & 0 \\ 0 & a b & . . . & 0 \\ . & . & . & . \\ 0 & 0 & . . . & a b \end{matrix})$

також є скалярними матрицями і, відповідно, належать множині $R_{n}^{*}$ .

Див. також

Джерела

Скалярна матриця

Зміст

Властивості

Приклади

Див. також

Джерела

Навігаційне меню

Скалярна матриця

Властивості

Приклади

Див. також

Джерела

Навігаційне меню

Пошук