Розв'язна алгебра Лі

В математиці, алгебра Лі $𝔤$ називається розв'язною похідний ряд стає нульовим починаючи з деякого члена. Похідною алгеброю Лі називається підалгебра в $𝔤$, що позначається як

$[𝔤,𝔤]$

і елементами якої за означенням є дужки Лі всеможливих пар елементів з $𝔤$. Похідним рядом називається послідовність підалгебр

$𝔤⩾[𝔤,𝔤]⩾[[𝔤,𝔤],[𝔤,𝔤]]⩾[[[𝔤,𝔤],[𝔤,𝔤]],[[𝔤,𝔤],[𝔤,𝔤]]]\ge ...$

Елементи цього ряду також позначаються $D^k𝔤$ де $D^0𝔤=𝔤$ і $D^{k+1}𝔤=[D^k𝔤,D^k𝔤].$

Якщо для деякого k виконується $D^k𝔤=\{0\}$, то алгебра Лі називається розв'язною.

Максимальна розв'язна підалгебра називається підалгеброю Бореля. Найбільший розв'язний ідеал алгебри Лі називається радикалом.

Означення

Нехай $𝔤$ — скінченновимірна алгебра Лі над полем [[Характеристика (алгебра)|характеристики Шаблон:Math]]. Тоді твердження нижче є еквівалентними і можуть бути використані як означення:

• (i) $𝔤$ є розв'язною за означенням вище.
• (ii) $\mathrm{a}\mathrm{d}(𝔤)$, приєднане представлення алгебри $𝔤$, є розв'язним.
• (iii) Існує скінченна послідовність ідеалів ${𝔞}_i$ алгебри $𝔤$} для яких:

$𝔤={𝔞}_0\supset {𝔞}_1\supset ...{𝔞}_r=0,\mathrm{\forall }i[{𝔞}_i,{𝔞}_i]\subset {𝔞}_{i+1}.$

• (iv) $[𝔤,𝔤]$ є нільпотентною алгеброю Лі.
• (v) Для $n$-вимірної алгебри $𝔤$ , існує послідовність підалгебр ${𝔞}_i$ алгебри $𝔤$ для яких:

$𝔤={𝔞}_0\supset {𝔞}_1\supset ...{𝔞}_n=0,\mathrm{\forall }i\dim {𝔞}_i/{𝔞}_{i+1}=1,$

і ${𝔞}_{i+1}$ є ідеалом в ${𝔞}_i$. Ця послідовність називається елементарною послідовністю.

• (vi) Існує скінченна послідовність підалгебр ${𝔤}_i$ алгебри $𝔤$ для яких,

$𝔤={𝔤}_0\supset {𝔤}_1\supset ...{𝔤}_r=0,$ і ${𝔤}_{i+1}$ є ідеалом ${𝔤}_i$ і до того ж ${𝔤}_i/{𝔤}_{i+1}$ є комутативною алгеброю Лі.

• (vii) $𝔤$ є розв'язною тоді і тільки тоді коли її форма Кіллінга $B$ задовольняє умову $B(X,Y)=0$ для всіх Шаблон:Mvar в $𝔤$ і Шаблон:Mvar в $[𝔤,𝔤]$.

Приклади

• Напівпроста алгебра Лі ніколи не є розв'язною.
• Будь-яка абелева алгебра Лі є розв'язною.
• Будь-яка нільпотентна алгебра Лі є розв'язною.
• Якщо $V$ є скінченновимірним векторним простором над полем $K$ і $F=\{V_i\}$ — повний прапор векторних підпросторів. Підалгебра $𝔟(F)=\{x\in 𝔤𝔩(V)|x{V}_i\subset V_i,\mathrm{\forall }{V}_i\}$ алгебри ${\mathrm{g}\mathrm{l}}_k$ є розв'язною алгеброю Лі. Якщо на просторі $V$ ввести базис, що узгоджується з $F$ то елементи алгебри $𝔟(F)$ визначаються верхніми трикутними матрицями. Алгебра верхніх трикутних матриць над полем $K$ розмірності n позначається $𝔱(n,K).$ Якщо $K$ — алгебраїчно замкнуте поле характеристики 0 то довільна розв'язна скінченновимірна алгебра Лі над полем $K$ ізоморфна підалгебрі алгебри $𝔱(n,K).$

Властивості

• Згідно з теоремою Лі, якщо $V$ є скінченновимірним векторним простором над алгебраїчно замкнутим полем $K$ характеристики 0 і $𝔤$ є розв'язною алгеброю Лі над підполем $k$ поля $K$, і $\pi$ є представленням алгебри $𝔤$ над простором $V$,тоді існує повний прапор векторних підпросторів $F$ для якого $\pi (𝔤)\subset 𝔟(F).$ Зокрема існує вектор $v\in V$ що є одночасно власним вектором матриць $\pi (X)$ для всіх елементів $X\in 𝔤$. Більш загально теорема Лі є справедливою якщо поле $K$ є досконалим і містить всі власні значення усіх матриць $\pi (X).$

• Підалгебра Лі, факторалгебра і розширення розв'язної алгебри Лі є розв'язними алгебрами Лі.
• Розв'язна ненульова алгебра Лі має ненульовий абелевий ідеал, останній ненульовий член в похідному ряді.
• Образ розв'язної алгебри Лі при гомоморфізмі є розв'язною алгеброю Лі.
• Якщо $𝔞$ є розв'язним ідеалом в $𝔤$ і алгебра $𝔤/𝔞$ є розв'язною, то і алгебра $𝔤$ є розв'язною.
• Якщо $𝔤$ є скінченновимірною, тоді існує єдиний розв'язний ідеал $𝔯\subset 𝔤$, що містить всі розв'язні ідеали алгебри $𝔤$. Цей ідеал називається радикалом алгебри $𝔤$ і позначається $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}𝔤$. Радикали мають важливе значення в теорії скінченновимірних алгебр Лінад полями характеристики 0 оскільки в цьому випадку довільна алгебра Лі є напівпрямою сумою свого радикала, що є розв'язною алгеброю Лі і деякої напівпростої алгебри Лі. Тому класифікація алгебр Лі зводиться до класифікації напівпростих алгебр Лі і розв'язних алгебр Лі. Проте завдання класифікації скінченновимірних розв'язних алгебр Лі є набагато складнішим, ніж класифікація напівпростих алгебр.
• Якщо $𝔞,𝔟\subset 𝔤$ є розв'язними ідеалами, то таким є і ідеал $𝔞+𝔟$.
• Розв'язна алгебра Лі $𝔤$ має єдиний найбільший нільпотентний ідеал $𝔫$, що є множиною елементів $X\in 𝔤$ для яких ${\mathrm{a}\mathrm{d}}_X$ є нільпотентним відображенням. Розв'язна алгебра Лі розкладається на напівпряму суму цього ідеалу і деякої абелевої підалгебри. Якщо Шаблон:Mvar є диференціюванням на $𝔤$, то $D(𝔤)\subset 𝔫$.

Цілком розв'язні алгебри Лі

Алгебра Лі $𝔤$ називається цілком розв'язною якщо для неї існує елементарна послідовність ідеалів у $𝔤$ від $0$ до $𝔤$. Скінченновимірна нільпотентна алгебра Лі є цілком розв'язною і цілком розв'язна алгебра Лі є розв'язною. Над алгебраїчно замкнутим полем розв'язна алгебра Лі є цілком розв'язною, натомість, наприклад $3$-вимірна дійсна алгебра Лі групи евклідових ізометрій площини є розв'язною але не цілком розв'язною. Ця алгебра є ізоморфною матричній алгебрі

$X=\left(\begin{array}{ccc}0& \theta & x\\ -\theta & 0& y\\ 0& 0& 0\end{array}\right),\theta ,x,y\in ℝ.$

Розв'язна алгебра Лі $𝔤$ над полем є цілком розв'язною тоді і тільки тоді коли всі власні значення ${\mathrm{a}\mathrm{d}}_X$ належать $k$ для всіх $X$ в $𝔤$.

Див. також

• Алгебра Лі
• Форма Кіллінга

Посилання

• EoM article Lie algebra, solvable Шаблон:Webarchive
• EoM article Lie group, solvable Шаблон:Webarchive

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book.