Тета-функція

Тета-функції — цілі функції комплексної змінної (можливо залежні від додаткових параметрів), що є квазідвоперіодичними, тобто крім періоду $\omega$ мають ще так званий квазіперіод $\omega \tau$ при додаванні якого до значення аргументу значення функції множиться на деякий мультиплікатор.

Особливо велике значення мають тета-функції Якобі — чотири тета-функції залежні від параметра $\tau$, що використовуються в теорії еліптичних функцій, модулярних форм і інших.

Загальні тета-функції

Тета-функцією $\theta (z)$ називається функція, що задовольняє властивості:

$\theta (z+\omega )=\theta (z),\theta (z+\omega \tau )=\varphi (z)\theta (z).$

Як періодична ціла функція, $\theta (z)$ завжди рівна сумі ряду:

$\theta (z)=\sum _{n\in \mathbb{Z}}{c}_n\exp \left(\frac{2\pi in}{\omega }\right).$

Дані ряди називаються тета-рядами.

На практиці найважливішими є мультиплікатори виду

$\varphi (z)=q\exp (2\pi ikz),$

де k — натуральне число, що називається порядком або вагою тета-функції, q — числовий множник.

Тета-функції Якобі

Основна тета-функція Якобі

Основною тета-функцією Якобі називається функція двох комплексних змінних, що за означенням рівна

$\vartheta (z,\tau ):=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i{n}^2\tau +2\pi inz}$

Даний ряд є нормально збіжним на множині $ℂ\times ℍ$, де $ℍ=\{z\in ℂ|\mathrm{\Im }(z)>0\}$ є верхньою комплексною напівплощиною. Для всіх $\tau \in ℍ$ функція $\vartheta (\cdot ,\tau )$ є цілою функцією, для всіх $z\in ℂ$ функція $\vartheta (z,\cdot )$ є голоморфною на множині $ℍ$.

Інші тета-функції Якобі

Через основну тета-функцію Якобі можна ввести ще три тета-функції:

${\vartheta }_0(z,\tau ):={\vartheta }_{0,1}(z,\tau ):=\vartheta (z+\frac{1}{2},\tau )=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\cdot e^{\pi i{n}^2\tau +2\pi inz}$

${\vartheta }_2(z,\tau ):={\vartheta }_{1,0}(z,\tau ):=e^{\pi i\frac{\tau }{4}+\pi iz}\cdot \vartheta (z+\frac{\tau }{2},\tau )=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i{(n+\frac{1}{2})}^2\tau +2\pi i(n+\frac{1}{2})z}$

${\vartheta }_1(z,\tau ):={\vartheta }_{1,1}(z,\tau ):=e^{\pi i\frac{\tau }{4}+\pi i(z+\frac{1}{2})}\cdot \vartheta (z+\frac{\tau +1}{2},\tau )=i\cdot \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\cdot e^{\pi i{(n+\frac{1}{2})}^2\tau +2\pi i(n+\frac{1}{2})z}$

В цих позначеннях $\vartheta (z,\tau ):={\vartheta }_3(z,\tau ):={\vartheta }_{0,0}(z,\tau )$.

Тета-константи

Для значення $z=0$, отримаємо функції визначені на верхній комплексній напівплощині, які також називаються тета-константами.

$\vartheta (\tau ):=\vartheta (0,\tau )=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i{n}^2\tau }=1+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\pi i{n}^2\tau }$

Означення за допомогою ному

Означення тета-функцій можна дати не лише в термінах змінних Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar, але і в змінних Шаблон:Mvar і нома Шаблон:Mvar, де Шаблон:Math і Шаблон:Math. В цих змінних функції рівні

$\begin{array}{cccc}{\vartheta }_{00}(w,q)& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(w^2{)}^n{q}^{n^2}& {\vartheta }_{01}(w,q)& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n(w^2{)}^n{q}^{n^2}\\ {\vartheta }_{10}(w,q)& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(w^2{)}^{n+\frac{1}{2}}{q}^{{(n+\frac{1}{2})}^2}& {\vartheta }_{11}(w,q)& =i\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n(w^2{)}^{n+\frac{1}{2}}{q}^{{(n+\frac{1}{2})}^2}.\end{array}$

Ці фомули можна використати для означень тета-функцій в полях де експоненційне відображення може не бути всюди визначеним, наприклад в полях p-адичних чисел.

Властивості

Періодичність і квазіперіодичність

Для фіксованого Шаблон:Mvar тета-функції Якобі є періодичними з періодами 1 або 2 і квазіперіодичними щодо періоду Шаблон:Mvar, а саме для всіх $z\in ℂ$ виконуються рівності:

• ${\vartheta }_{00}(z\pm 1;\tau )={\vartheta }_{00}(z;\tau ),{\vartheta }_{00}(z\pm \tau ;\tau )=\exp (-\pi i\tau \mp 2\pi iz){\vartheta }_{00}(z;\tau ).$
• ${\vartheta }_{01}(z\pm 1;\tau )={\vartheta }_{01}(z;\tau ),{\vartheta }_{01}(z\pm \tau ;\tau )=-\exp (-\pi i\tau \mp 2\pi iz){\vartheta }_{01}(z;\tau ).$
• ${\vartheta }_{10}(z\pm 1;\tau )=-{\vartheta }_{10}(z;\tau ),{\vartheta }_{10}(z\pm \tau ;\tau )=\exp (-\pi i\tau \mp 2\pi iz){\vartheta }_{10}(z;\tau ).$
• ${\vartheta }_{11}(z\pm 1;\tau )=-{\vartheta }_{11}(z;\tau ),{\vartheta }_{11}(z\pm \tau ;\tau )=-\exp (-\pi i\tau \mp 2\pi iz){\vartheta }_{11}(z;\tau ).$

Тобто для фіксованого Шаблон:Mvar тета-функції Якобі є тета-функціями, згідно означення загальної тета-функції.

Інтегральні представлення

Для тета-функцій Якобі справедливими є інтегральні представлення:

$\begin{array}{cc}{\vartheta }_{00}(z;\tau )& =-i\underset{i-\mathrm{\infty }}{\overset{i+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{i\pi \tau u^2}\frac{\cos (2uz+\pi u)}{\sin (\pi u)}\mathrm{d}u;\\ {\vartheta }_{01}(z;\tau )& =-i\underset{i-\mathrm{\infty }}{\overset{i+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{i\pi \tau u^2}\frac{\cos (2uz)}{\sin (\pi u)}\mathrm{d}u;\\ {\vartheta }_{10}(z;\tau )& =-i{e}^{iz+\frac{1}{4}i\pi \tau }\underset{i-\mathrm{\infty }}{\overset{i+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{i\pi \tau u^2}\frac{\cos (2uz+\pi u+\pi \tau u)}{\sin (\pi u)}\mathrm{d}u;\\ {\vartheta }_{11}(z;\tau )& =e^{iz+\frac{1}{4}i\pi \tau }\underset{i-\mathrm{\infty }}{\overset{i+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{i\pi \tau u^2}\frac{\cos (2uz+\pi \tau u)}{\sin (\pi u)}\mathrm{d}u.\end{array}$

Нулі тета-функцій Якобі

Для фіксованого Шаблон:Mvar тета-функції Якобі:

$\begin{array}{cccccc}{\vartheta }_{00}(z,\tau )& =0& ⟺& & z& =m+n\tau +\frac{1}{2}+\frac{\tau }{2}\\ {\vartheta }_{11}(z,\tau )& =0& ⟺& & z& =m+n\tau \\ {\vartheta }_{10}(z,\tau )& =0& ⟺& & z& =m+n\tau +\frac{1}{2}\\ {\vartheta }_{01}(z,\tau )& =0& ⟺& & z& =m+n\tau +\frac{\tau }{2}\end{array}$

де Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar — довільні цілі числа.

Рівності Якобі

Рівності Якобі визначають поведінку тета-функцій Якобі під впливом дії модулярної групи, породженої перетвореннями Шаблон:Math і Шаблон:Math. Рівняння для першого перетворення утворюються з врахуванням того, що додавання 1 до Шаблон:Mvar має такий же ефект на значення функції, як додавання Шаблон:Sfrac до Шаблон:Mvar.

Для визначення впливу другого перетворення позначимо

$\alpha =(-i\tau {)}^{\frac{1}{2}}\exp \left(\frac{\pi }{\tau }i{z}^2\right).$

Тоді

$\begin{array}{cccc}{\vartheta }_{00}(\frac{z}{\tau };\frac{-1}{\tau })& =\alpha {\vartheta }_{00}(z;\tau )& {\vartheta }_{01}(\frac{z}{\tau };\frac{-1}{\tau })& =\alpha {\vartheta }_{10}(z;\tau )\\ {\vartheta }_{10}(\frac{z}{\tau };\frac{-1}{\tau })& =\alpha {\vartheta }_{01}(z;\tau )& {\vartheta }_{11}(\frac{z}{\tau };\frac{-1}{\tau })& =-i\alpha {\vartheta }_{11}(z;\tau ).\end{array}$

Інші властивості

• Формула добутку ${\vartheta }_{00}(z;\tau )=\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\exp (2m\pi i\tau ))(1+\exp ((2m-1)\pi i\tau +2\pi iz\left)\right)(1+\exp ((2m-1)\pi i\tau -2\pi iz\left)\right).$
• Всі тета-функції Якобі задовольняють диференціальному рівнянню $\frac{\partial }{\partial t}\vartheta (x,it)=\frac{1}{4\pi }\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\vartheta (x,it).$
• Зв'язок з еліптичною функцією Вейєрштраса $\mathrm{\wp }(z;\tau )=-(\log {\vartheta }_{11}(z;\tau ){)}^{″}+c$, де похідні є щодо змінної Шаблон:Mvar і константа Шаблон:Mvar вибирається так щоб розклад Шаблон:Math в ряд Лорана в точці Шаблон:Math мав нульовий доданок нульового степеня.
• Зв'язок з дзета функцією Рімана: $\mathrm{\Gamma }\left(\frac{s}{2}\right){\pi }^{-\frac{s}{2}}\zeta (s)=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}({\vartheta }_{00}(0;it)-1)t^{\frac{s}{2}}\frac{\mathrm{d}t}{t}.$
• Зв'язок з ета функцією Дедекінда. Нехай Шаблон:Math — ета функцією Дедекінда. Тоді

  $\begin{array}{cc}{\vartheta }_{10}(0;\tau )& =\frac{2{\eta }^2(2\tau )}{\eta (\tau )},\\ {\vartheta }_{00}(0;\tau )& =\frac{{\eta }^5(\tau )}{{\eta }^2\left(\frac{1}{2}\tau \right){\eta }^2(2\tau )}=\frac{{\eta }^2(\frac{1}{2}(\tau +1))}{\eta (\tau +1)},\\ {\vartheta }_{01}(0;\tau )& =\frac{{\eta }^2\left(\frac{1}{2}\tau \right)}{\eta (\tau )},\end{array}$ і,

  ${\vartheta }_{10}(0;\tau ){\vartheta }_{00}(0;\tau ){\vartheta }_{01}(0;\tau )=2{\eta }^3(\tau ).$

Див. також

• Еліптична функція
• Еліптичні функції Якобі
• Функція суми квадратів

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book