Плюрігармонічна функція

Плюрігармонічна функція — два рази неперервно диференційовна, функція комплексних змінних $f:G\subset {ℂ}^n\to ℂ$, така що для будь-якої комплексної прямої $\{a+bz\mid z\in ℂ\}$ функція

$z\mapsto f(a+bz)$

є гармонічною на множині

$\{z\in ℂ\mid a+bz\in G\}$.

Аналогічним означення є і для функцій кількох комплексних змінних зі значенням у множині дійсних чисел.

Для дійснозначних функцій також можна дати еквівалентне означення через часткові похідні. Нехай $f:G\subset {ℂ}^n\to ℝ:(z_1,\dots ,z_n)\to f(z_1,\dots ,z_n)$ така функція і $z_k=x_k+y_{k}i,k=1,\dots ,n$ — запис комплексних змінних через їх дійсні й уявні складові. Функція $f$ є плюрісубгармонічною тоді і тільки тоді, коли вона має неперервні часткові похідні по змінних $x_k,y_l$ до другого порядку включно і задовольняє систему рівнянь:

$\{\begin{array}{c}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_k\partial x_l}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y_k\partial y_l}=0,\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_k\partial y_l}-\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y_k\partial x_l}=0,\end{array}$

де $k,l=1,\dots ,n.$

Позначаючи, як звично:

$\frac{\partial }{\partial z}=\frac{1}{2}(\frac{\partial }{\partial x}-i\frac{\partial }{\partial y}),\frac{\partial }{\partial \overline{z}}=\frac{1}{2}(\frac{\partial }{\partial x}+i\frac{\partial }{\partial y}),$

дану систему можна записати у більш зручному виді:

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z_k\partial {\overline{z}}_l}=0,k,l=1,\dots ,n.$

Комплекснозначна функція буде плюрігармонічною тоді і тільки тоді, коли її дійсна і уявна частини задовольнятимуть рівнянням вище.

Властивості

• Кожна плюрігармонічна функція є гармонічною функцією. У випадку функцій однієї комплексної змінної правильним є і обернене твердження. Натомість для функцій більш ніж однієї змінної обернене твердження є неправильним. Наприклад дійснозначна функція $f(x_1+i{y}_1,x_2+i{y}_2)=x_1{y}_2$ є гармонічною в ${ℂ}^2$⁣, але вона не є плюрігармонічною оскільки, наприклад, на прямій $(z,iz)$ її значення рівні $f(z,iz)=(\text{Re}z{)}^2$ і $(\text{Re}z{)}^2$ не є гармонічною функцією. Плюрігармонічні функції кількох комплексних змінних також є правильним підкласом кратногармонічних функцій.
• Також плюрігармонічні функції є правильним підкласом плюрісубгармонічних функцій, що для $n>1$ є правильним підкласом субгармонічних функцій.
• Важливість плюрігармонічних функцій у комплексному аналізі кількох змінних пояснюється тим, що для голоморфної функції декількох комплексних змінних її дійсна (і уявна) частини є плюрігармонічними функціями. Плюрігармонічні функції, що є дійсною і уявною частинами голоморфної функції називаються спряженими.
• Навпаки, якщо дано плюрігармонічну функцію $u$ в однозв'язному околі V точки $z_0$, то в цьому околі існує голоморфна функція $f=u+iv$, дійсна частина якої дорівнює $u$. Завдання визначення цієї голоморфної функції $g$ зводиться до знаходження спряженої плюрігармонічної функції за формулою

$v(z)=\underset{z_0}{\overset{z}{\int }}{\sum }_{k=1}^n(-\frac{\partial u}{\partial y_k}d{x}_k+\frac{\partial u}{\partial x_k}d{y}_k)+C,z\in V.$

Див. також

• Гармонічна функція
• Плюрісубгармонічна функція
• Субгармонічна функція

Література

• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.