Проєктивний модуль

Проєктивний модуль — важливий тип модулів, що є узагальненням вільних модулів. З точки зору теорії категорій, проєктивні модулі є окремим випадком проєктивних об'єктів.

Визначення

Проєктивний модуль можна визначити кількома еквівалентними способами.

• Модуль $P$ над кільцем $R$ (як правило, вважається асоціативним з одиничним елементом), називається проєктивним, якщо для будь-якого гомоморфізма $g:P\to M$ і епіморфізма $f:N\to M$ існує такий гомоморфізм $h:P\to N$, що $g=fh$, тобто дана діаграма є комутативною:

Діаграма для проєктованого модуля

• Модуль $P$ є проєктивним тоді і тільки тоді, коли існує такий модуль $K$, що пряма сума $F=P\oplus K$ є вільним модулем.

Справді, нехай $P$ є компонентою прямої суми $F$, яка є вільним модулем, і $g:P\to M$ — гомоморфізм, a $f:N\to M$ — епіморфізм. Тоді $g\circ p_1:F\to M$ теж є гомоморфізмом ($p_1$ — проєкція прямої суми $F$ на перший доданок $P$), а так як вільні модулі є проєктивними, то існує гомоморфізм $h_1:F\to N$, такий, що $g\circ p_1=f\circ h_1$, звідси $g\circ p_1\circ i_1=f\circ h_1\circ i_1$, де $i_1$ — гомоморфізм включення $P\to F$, звідси

$g=f\circ h_1\circ i_1:P\to M$

Навпаки, нехай $P$ — проєктивний модуль. Кожен модуль є гомоморфним образом вільного. Нехай $g:F\to P$ — відповідний епіморфізм. Тоді тотожний ізоморфізм $id:P\to P$ буде рівним $id=g\circ h$ для деякого $h:P\to F$, так як $P$ є проєктивним. Будь-який елемент $F$ тоді можна записати як

$x=h\circ g(x)+(x-h\circ g(x))\in \mathrm{I}\mathrm{m}h\oplus \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}g$,

де $\mathrm{I}\mathrm{m}h$ є ізоморфним $P$.

• $P$ є проєктивним тоді і тільки тоді, коли для будь-якого епіморфізма $f:N\to M$ індукований гомоморфізм $f_{*}:\text{Hom}(P,N)\to \text{Hom}(P,M)$теж є епіморфізмом.
• $P$ є проєктивним тоді і тільки тоді, коли він переводить будь-яку коротку точну послідовність $0\to A\to B\to C\to 0$ в точну послідовність $0\to \text{Hom}(P,A)\to \text{Hom}(P,B)\to \text{Hom}(P,C)\to 0$.
• Модуль $P$ є проєктивним тоді і тільки тоді, коли кожна коротка точна послідовність модулів виду

$0\to A\to B\stackrel{f}{\to }P\to 0$

розщеплюється. Тобто для відображення Шаблон:Math на діаграмі існує відображення Шаблон:Math, таке що Шаблон:Math. У цьому випадку Шаблон:Math є прямим доданком модуля Шаблон:Math, Шаблон:Mvar є ізоморфізмом із Шаблон:Mvar на Шаблон:Math, а Шаблон:Math є проєкцією на Шаблон:Math. Це також можна записати як

$B=\mathrm{I}\mathrm{m}(h)\oplus \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(f)\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(f)\cong A\wedge \mathrm{I}\mathrm{m}(h)\cong P.$

• Модуль $P$ над кільцем $R$ є проєктивним тоді і тільки тоді, коли існує множина $\{a_i\in P\mid i\in I\}$ і множина гомоморфізмів $\{f_i\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(P,R)\mid i\in I\}$ таких що для кожного $x\in P,$ виконується рівність $x=\sum f_i(x)a_i$ і f_i(x) не рівне нулю лише для скінченної кількості індексів i.
• Модуль $P$ над кільцем $R$ є проєктивним тоді і тільки тоді, коли для всіх R-модулів T функтор Ext задовольняє умову ${\mathrm{Ext}}_R^1(P,T)=0$ (і тому ${\mathrm{Ext}}_R^i(P,T)=0,i>0.$)

Властивості

• Пряма сума модулів є проєктивним модулем тоді і тільки тоді, коли кожен доданок є проєктивним.
• Будь-який проєктивний модуль над кільцем головних ідеалів або локальним комутативним кільцем є вільним модулем.
• Будь-який проєктивний модуль є плоским.
• Локалізація проєктивного модуля над комутативним кільцем є проєктивним модулем над локалізованим кільцем. Оскільки проєктивний модуль над локальним кільцем є вільним то локалізація кільця модуля по всіх простих ідеалах є вільним модулем. Також ця властивість описується так, що проєктивний модуль є локально вільним.

Приклади

• Найпростіший приклад проєктивного модуля — вільний модуль $F$.

Справді, нехай $x_1,x_2,\dots ,x_i,\dots$ — елементи базису модуля $F$ і $g(x_i)=y_i$. Оскільки $f$ — епіморфізм, можна знайти такі $z_i$, що $f(z_i)=y_i$. Тоді $h$ можна визначити, задавши його значення на векторах базису як $h(x_i)=z_i$.

• Для кілець многочленів від кількох змінних над полем будь-який проєктивний модуль є вільним.
• У кільці Дедекінда кожен ідеал, що не є головним є проєктивним модулем і не є вільним модулем.
• Абелева група є проєктивним модулем тоді і тільки тоді, коли вона є вільною.

Див. також

• Лема Шаунеля
• Вільний модуль
• Ін'єктивний модуль
• Проєктивний об'єкт

Література

• Шаблон:Ленг.Алгебра