Ознака Веєрштраса

Твердження

Нехай ${f_{n}}$ послідовність функцій дійсної чи комплексної змінної визначених на множині $A$ і існують такі невід'ємні дійсні числа $M_{n}$ що

| f_{n} (x) | \leq M_{n}

для всіх $n$ ≥ $1$ і всіх $x \in A$ . Якщо ряд

\sum_{n = 1}^{\infty} M_{n}

\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (x)

є абсолютно і рівномірно збіжним на $A$ .

Позначимо $S_{n} (x) = \sum_{k = 1}^{n} f_{k} (x)$

Оскільки ряд $\sum_{n = 1}^{\infty} M_{n}$ є збіжним i Шаблон:Math для всіх n, згідно ознаки Коші

\forall ε > 0 : \exists N : \forall n > m > N : \sum_{k = m + 1}^{n} M_{k} < ε .

Для вибраного N,

\forall x \in A : \forall n > m > N

| S_{n} (x) - S_{m} (x) | = | \sum_{k = m + 1}^{n} f_{k} (x) | \overset{(1)}{\leq} \sum_{k = m + 1}^{n} | f_{k} (x) | \leq \sum_{k = m + 1}^{n} M_{k} < ε .

Тобто часткова сума ряду є рівномірно збіжною. За визначенням ряд $\sum_{k = 1}^{\infty} f_{k} (x)$ теж є рівномірно збіжним.