Теорема Веєрштрасса про цілі функції

Теорема Веєрштрасса про цілі функції (також теорема Веєрштрасса про факторизацію) — в комплексному аналізі твердження про властивості цілих функцій, що визначає існування цілих функцій із заданими нулями з урахуваннями кратності, а також стверджує для довільних цілих функцій існування аналога розкладу многочленів на лінійні множники.

Твердження теореми

Нехай задана скінченна або зліченна послідовність комплексних чисел $z_{k}$ , які вважатимемо занумерованими так що $| z_{1} | ⩽ | z_{2} | ⩽ . . . ⩽ | z_{k} | ⩽ . . .$ і для яких $\lim_{k \to \infty} z_{k} = \infty .$

Тоді існує ціла функція $f (z)$ , для якої $z_{k}$ є множиною всіх нулів і в кожній точці кратність нуля є такою, скільки раз це число є в послідовності $z_{k}$ .

Якщо ж деяка ціла функція $f (z)$ має в точці 0 — нуль порядка $λ$ і також має своїми нулями числа з послідовності $z_{k}$ (з урахування кратності; ця кількість є не більш ніж зліченною), то для цієї функції справедлива факторизація:

f (z) = z^{λ} e^{h (z)} \prod_{1}^{\infty} (1 - \frac{z}{z_{n}}) \exp (\frac{z}{z_{n}} + \frac{1}{2} {(\frac{z}{z_{n}})}^{2} + \dots + \frac{1}{p_{n}} {(\frac{z}{z_{n}})}^{p_{n}})

де

h

— деяка ціла функція, а невід'ємні цілі числа

p_{n}

вибрані так щоб гарантувати збіжність ряду:

\sum_{1}^{\infty} {| \frac{z}{z_{n}} |}^{p_{n} + 1} .

Доведення

Без обмеження загальності можна вважати, що $z_{1} \neq 0 .$ В іншому разі замість функції $f (z)$ всюди можна розглядати функцію $\frac{f (z)}{z^{λ}},$ де $λ$ — порядок нуля в точці 0. Підберемо невід'ємні цілі числа $p_{n}$ так, щоб в довільному крузі $| z | ⩽ R,$ ряд $\sum_{1}^{\infty} {| \frac{z}{z_{n}} |}^{p_{n} + 1}$ був абсолютно і рівномірно збіжним. Достатньо, наприклад, взяти $n = p_{n} + 1 .$

При такому виборі $p_{n} (z)$ нескінченний добуток

$f (z) = \prod_{1}^{\infty} (1 - \frac{z}{z_{n}}) \exp (\frac{z}{z_{n}} + \frac{1}{2} {(\frac{z}{z_{n}})}^{2} + \dots + \frac{1}{p_{n}} {(\frac{z}{z_{n}})}^{p_{n}})$

збігається на довільній компактній множині $K$ .

Для доведення цього факту розглянемо функцію:

$g (ξ, p) = (1 - ξ) \exp (ξ + \frac{1}{2} ξ^{2} + \dots + \frac{1}{p} ξ^{p}) .$

Її логарифм рівний:

$\ln g (ξ, p) = \ln (1 - ξ) + ξ + \frac{1}{2} ξ^{2} + \dots + \frac{1}{p} ξ^{p} = - \frac{1}{p + 1} ξ^{p + 1} - \frac{1}{p + 2} ξ^{p + 2} - \dots$

При $| ξ | ⩽ q < 1$ справедливою є оцінка:

$| \ln g (ξ, p) | < | ξ |^{p + 1} (1 + ξ + \dots) ⩽ \frac{| ξ |^{p + 1}}{1 - q} .$

Позначимо $K_{n} : = {z \in ℂ : | z | < q | z_{n} |} .$ Для довільної компактної множини $K$ існує натуральне число $N,$ таке що $K \subset K_{n}, \forall n ⩾ N .$

Для всіх так визначених $n$ з попередніх оцінок маємо, що

$| \ln g (\frac{z}{z_{n}}, p_{n}) | ⩽ \frac{1}{1 - q} {| \frac{z}{z_{n}} |}^{p_{n} + 1} .$

Тоді ряд $\sum_{n = N}^{\infty} (\ln g (\frac{z}{z_{n}}, p_{n})) = g_{N} (z)$ на $K$ мажорується збіжним рядом $\sum_{N}^{\infty} {| \frac{z}{z_{n}} |}^{p_{n} + 1}$ і відповідно $g_{N} (z)$ є голоморфною на $K$ функцією.

Як наслідок нескінченний добуток

$\prod_{n = N}^{\infty} g (\frac{z}{z_{n}}, p_{n}) = \exp (g_{N} (z)) = f_{N} (z)$

є збіжним і визначає голоморфну на $K$ функцію, що не є рівною нулю на всій множині $K$ .

Визначена раніше функція $f (z)$ відрізняється від $f_{N} (z)$ добутком на $\prod_{n = 1}^{N - 1} g (\frac{z}{z_{n}}, p_{n}) .$

Цей добуток має нулі в точках $z_{1} (z), \dots, z_{N - 1} (z)$ і лише в них. Це ж справедливо і для $f (z)$ на множині $K$ .

Оскільки $K$ — довільна компактна множина то $f (z)$ — ціла функція і має в $ℂ$ задані нулі з урахуванням кратності.

Якщо тепер $f (z)$ — довільна ціла функція, що не має нуля в точці 0 (в іншому разі знову ж можна розглядати функцію $\frac{f (z)}{z^{λ}}$ ), то позначивши її нулі так що $| z_{1} | ⩽ | z_{2} | ⩽ . . . ⩽ | z_{k} | ⩽ . . .$ і побудувавши, як і вище нескінченний добуток

$f_{0} (z) = \prod_{1}^{\infty} (1 - \frac{z}{z_{n}}) \exp (\frac{z}{z_{n}} + \frac{1}{2} {(\frac{z}{z_{n}})}^{2} + \dots + \frac{1}{p_{n}} {(\frac{z}{z_{n}})}^{p_{n}})$

отримуємо, що частка $f (z) / f_{0} (z)$ є цілою функцією без нулів і функція $h (z) = \ln f (z) / f_{0} (z)$ є необмежено продовжуваною в $ℂ$ і згідно теореми про монодромію є цілою функцією.

Приклади факторизації

Нижче подано приклади факторизації для деяких цілих функцій:

$\sin π z = π z \prod_{n \neq 0} (1 - \frac{z}{n}) e^{z / n} = π z \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - \frac{z^{2}}{n^{2}})$

$\cos π z = \prod_{q \in ℤ, q odd} (1 - \frac{2 z}{q}) e^{2 z / q} = \prod_{n = 0}^{\infty} (1 - \frac{4 z^{2}}{(2 n + 1)^{2}})$

Див. також

Посилання

Шаблон:Springer

Джерела

Теорема Веєрштрасса про цілі функції

Зміст

Твердження теореми

Доведення

Приклади факторизації

Див. також

Посилання

Джерела

Навігаційне меню

Теорема Веєрштрасса про цілі функції

Твердження теореми

Доведення

Приклади факторизації

Див. також

Посилання

Джерела

Навігаційне меню

Пошук