Теорема Монтеля

В комплексному аналізі теорема Монтеля — важливе твердження про сім'ї голоморфних функцій. Названа на честь французького математика Поля Монтеля. Теорема має важливі застосування в комплекснму аналізі, зокрема при доведенні теорема Рімана про відображення.

Твердження теореми

Нехай $ℱ$ — сім'я голоморфних функцій на відкритій підмножині $U\subseteq ℂ$. Якщо всі ці функції є обмежені на компактах, тобто для кожної компактної підмножини $K\subseteq U$ існує дійсне число $M=M_K$, таке що для всіх $z\in K$ і всіх $f_{\alpha }\in ℱ$ справедливою є нерівність $|f_{\alpha }(z)|⩽M.$

Тоді сім'я функцій $ℱ$ є нормальною тобто з кожної послідовності функцій $f_j\in ℱ$ модна вибрати підпослідовність рівномірно збіжну на всіх компактних підмножинах в $U.$

Справедливим також є багатовимірний аналог теореми, де $U\subseteq {ℂ}^n$.

Порівняння з випадком дійсних функцій

Твердження теореми є специфічним для випадку голоморфних функцій комплексної змінної. Їх аналоги для функцій дійсних змінних не є справедливими. Наприклад послідовність аналітичних функцій $\{\sin kx{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ є обмеженою на проміжку $[0,2\pi ]$ проте для цієї послідовності немає навіть поточково збіжної підпослідовності.

Доведення

Зафіксуємо компактну множину $K\subseteq U$. Тепер виберемо трохи більшу компактну підмножину $L\subseteq U$ таку, що внутрішність $L$ містить $K$. Тоді для деякого $\eta >0$, для всіх точок $z,w\in K$ таких що $|z-w|<\eta$ відрізок, що їх сполучає, повністю належить $L$.

Оскільки $L$ є компактною множиною, то існує таке число $r>0$, що якщо $z_0\in L$ то круг $B(z_0,r)\subset U.$ Тоді, для всіх $f\in ℱ$ з інтегральної теореми Коші випливає нерівність:

$|f^{\prime }(z_0)|⩽\frac{M}{r}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{C}_1.$

Ці нерівності виконуються для всіх $f\in ℱ$ і $z_0\in L$.

Нехай тепер $z,w\in K$ і зафіксуємо $f\in ℱ$. Припустимо, що $|z-w|<\eta$ і $\gamma (t):[a,b]\to {ℝ}^2$ — параметризація відрізка, що сполучає точки $z,w.$

Тоді

$|f(z)-f(w)|=|\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}^{\prime }(\gamma (t)){\gamma }^{\prime }(t)|⩽C_1\underset{0}{\overset{1}{\int }}|{\gamma }^{\prime }(t)|dt=C_1|z-w|.$

Зокрема сім'я $ℱ$ є ріностепенево неперервною. Тому з теореми Асколі — Арцели випливає, що з кожної послідовності функцій $f_j\in ℱ$ можна вибрати підпослідовність рівномірно збіжну на $K$.

Тепер виберемо послідовність компактних підмножин $K_1\subset K_2\subset \dots$ таких, що кожна множина в цій послідовності міститься у внутрішності наступної множини і об'єднання всіх множин дорівнює $U.$ З попереднього для будь-якої послідовності функцій $f_j\in ℱ$ можна вибрати підпослідовність $f_{j1}\in ℱ$, що рівномірно збігається на множині $K_1$. Продовжуючи можна вибрати підпослідовність $f_{j2}\subset f_{j1}$, що рівномірно збігається на $K_2$. Подібним чином можна визначити $f_{j2}\subset f_{j1}$, що рівномірно збігається на множині $K_i$.

Тепер можна визначити послідовність $g_i=f_{ii}$. Вона є підпослідовністю $f_j$ і рівномірно збігається на всіх підмножинах $K_i$, а тому і на всіх компактних підмножинах в $U.$ Це й завершує доведення теореми.

Див. також

• Інтегральна теорема Коші
• Теорема Асколі — Арцела
• Теорема Віталі (комплексний аналіз)

Література

• Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002). Function Theory of One Complex Variable. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2905-9