Напівкільце

Шаблон:Алгебричні структури В абстрактній алгебрі напівкільце — алгебрична структура, схожа на кільце, але без вимоги існування оберненого елемента щодо операції додавання.

Визначення та властивості напівкілець

Напівкільце — множина $S$ з бінарними операціями $+$ і $\cdot$ , в якій для будь-яких елементів $a, b, c$ виконуються аксіоми: ^[1]^[2]

⟨S,+⟩ — комутативний моноїд. Тобто справедливі рівності:
- Комутативність: $a + b = b + a$
- Асоціативність: $(a + b) + c = a + (b + c)$
- Існування нейтрального елемента (нуля): $a + 0 = 0 + a = a$
⟨S,⋅⟩ — напівгрупа. Тобто має місце властивість:
- асоціативність: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
Дистрибутивність множення щодо додавання:
- Ліва дистрибутивність: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$
- Права дистрибутивність: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$
Мультиплікативна властивість нуля:
- $a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0$

Остання аксіома опускається в визначенні кільця, так як там вона випливає з інших аксіом, тут же її доводиться додавати. Відмінність напівкільця від кільця полягає тільки в тому, що по додаванню напівкільце утворює тільки комутативний моноїд, а не комутативну групу.

Напівкільце називається комутативним, якщо операція множення в ньому є комутативною: $a \cdot b = b \cdot a \forall a, b \in S$ .

Напівкільце називається напівкільцем з одиницею, якщо в ньому існує нейтральний елемент щодо операції множення (що називається одиницею): $a \cdot 1 = 1 \cdot a = a \forall a \in S$ .

Напівкільце називається мультиплікативно (або адитивно) скоротним, якщо $\forall a, b, c \in S$ з рівності $a \cdot c = b \cdot c$ (або, відповідно, $a + c = b + c$ ) випливає, що $a = b$ .

Напівкільце називається ідемпотентним, якщо для будь-якого $a \in S$ виконується рівність $a + a = a .$

Приклади напівкілець

Напівкільце $⟨ ℕ_{0}, +, \cdot ⟩$ натуральних чисел з нулем.
Тривіальне напівкільце: $⟨ {0}, +, \cdot ⟩$
Двоелементне напівкільце: $⟨ ℤ_{2}, +, \cdot ⟩$ , $⟨ 𝔹, \oplus, \lor ⟩$ , де $\lor$ позначає диз'юнкцію, а $\oplus$ — виключну дизюнкцію на множині $𝔹 = {0, 1}$
Квадратні n × n матриці з елементами з напівкільця натуральних чисел з нулем $ℕ_{0}$ і операціями матричного додавання і множення. Також напівкільце утворюють квадратні матриці з елементами з будь-якого напівкільця.
Якщо A — комутативний моноїд, то множина End(A) ендоморфізмів A утворює напівкільце, де додавання визначено поточково, а множення — композиція функцій.
N [x], многочлени з натуральними коефіцієнтами утворюють комутативне напівкільце. Воно є вільним комутативним напівкільцем з єдиним генератором {x}.
Невід'ємні дійсні числа зі звичайними операціями додавання і множення. ^[2]
(Max, +) і (min, +) — напівкільця дійсних чисел, в яких сумою двох чисел визначено їх максимум (відповідно мінімум), а множення — звичайне додавання дійсних чисел.